T4: Funciones · Optimización y cálculo de derivadas — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Optimización y cálculo de derivadas

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

a) El índice de audiencia de un programa de radio se puede modelizar por una función del tipo:

f(t) = at^2 + bt + c, \quad t \in [0, 60]

donde

t

es el tiempo medido en minutos y

a, b, c \in \mathbb{R}

. Se sabe que cuando comienza el programa el índice de audiencia es 20 puntos y que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Determine

a, b

c

y represente gráficamente la función obtenida.b) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) \quad \quad h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}

DerivadasModelizaciónFunciones polinómicas

a) Determinación de

a, b

c

La función del índice de audiencia es $f(t) = at^2 + bt + c$ .Sabemos que cuando comienza el programa ( $t=0$ ), el índice de audiencia es 20 puntos. Por lo tanto, $f(0) = 20$ :

f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 20 \implies c = 20

La función ahora es $f(t) = at^2 + bt + 20$ . También sabemos que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Esto significa que $f(40) = 36$ y que la derivada en ese punto es cero, $f'(40) = 0$ .Primero, calculamos la derivada de $f(t)$ :

f'(t) = 2at + b

Aplicamos la condición $f'(40) = 0$ :

f'(40) = 2a(40) + b = 0 \implies 80a + b = 0 \implies b = -80a

Ahora aplicamos la condición $f(40) = 36$ :

f(40) = a(40)^2 + b(40) + 20 = 36

Sustituimos $b = -80a$ en la ecuación anterior:

1600a + 40(-80a) + 20 = 36

1600a - 3200a + 20 = 36

-1600a = 16

a = \frac{16}{-1600} = -0.01

Con el valor de $a$ , calculamos $b$ :

b = -80a = -80(-0.01) = 0.8

Por lo tanto, los valores de los coeficientes son:

a = -0.01, \quad b = 0.8, \quad c = 20

La función obtenida es:

f(t) = -0.01t^2 + 0.8t + 20, \quad t \in [0, 60]

Representación gráfica de la función:La función es una parábola que se abre hacia abajo (porque $a < 0$ ). Los puntos clave para la representación en el intervalo $[0, 60]$ son:1. El punto inicial: $f(0) = 20$ . Coordenada $(0, 20)$ . 2. El máximo: a $t=40$ minutos, $f(40) = 36$ . Coordenada $(40, 36)$ . 3. El punto final del intervalo: $t=60$ minutos.

f(60) = -0.01(60)^2 + 0.8(60) + 20

f(60) = -0.01(3600) + 48 + 20

f(60) = -36 + 48 + 20 = 32

Coordenada $(60, 32)$ . La gráfica es una parábola con vértice en $(40, 36)$ , que pasa por $(0, 20)$ y $(60, 32)$ . Se eleva desde $t=0$ hasta $t=40$ y luego desciende suavemente hasta $t=60$ .

b) Cálculo de las derivadas de las siguientes funciones:

Para $g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ :Primero, usamos las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión:

g(x) = \ln(x^2 - 1) - \ln(x^2 + 1)

Ahora, derivamos usando la regla de la cadena, donde $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ :

g'(x) = \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{2x}{x^2 + 1}

Combinamos los términos en una sola fracción:

g'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}

g'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{x^4 - 1}

g'(x) = \frac{4x}{x^4 - 1}

Para $h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}$ :Usamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$ , donde $u = 2x - 1$ y $v = e^{x^2 - x}$ .Calculamos las derivadas de $u$ y $v$ :

u = 2x - 1 \implies u' = 2

v = e^{x^2 - x}

Para $v'$ , usamos la regla de la cadena para la función exponencial, $(e^w)' = e^w \cdot w'$ :

w = x^2 - x \implies w' = 2x - 1

v' = e^{x^2 - x}(2x - 1)

Ahora aplicamos la regla del producto:

h'(x) = u'v + uv'

h'(x) = (2)e^{x^2 - x} + (2x - 1)e^{x^2 - x}(2x - 1)

Factorizamos $e^{x^2 - x}$ :

h'(x) = e^{x^2 - x} [2 + (2x - 1)^2]

Expandimos el término cuadrático:

(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1

Sustituimos y simplificamos:

h'(x) = e^{x^2 - x} [2 + 4x^2 - 4x + 1]

h'(x) = e^{x^2 - x} (4x^2 - 4x + 3)