T4: Funciones · Continuidad e integración (áreas) — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Continuidad e integración (áreas)

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

a) Se considera la función:

f(x) = \begin{cases} a \cdot e^{x+1} & x \le -1 \\ x^2 - 2 & -1 < x < 2 \\ b \cdot \log(12 - x) & 2 \le x < 12 \end{cases}

siendo

a

b

números reales. Determine los valores de

a

b

para que la función

f

sea continua en su dominio.b) Represente el recinto acotado, limitado por la recta

y = -x + 3

y la parábola

y = -x^2 + 5

. Calcule el área del recinto.

Funciones definidas a trozosContinuidadCálculo de áreas+1

a) Determine los valores de

a

b

para que la función

f

sea continua en su dominio.

Para que la función $f(x)$ sea continua en su dominio, debe ser continua en los puntos de unión de sus tramos, es decir, en $x = -1$ y $x = 2$ .

Continuidad en $x = -1$

Para que $f(x)$ sea continua en $x = -1$ , los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.

\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} a \cdot e^{x+1} = a \cdot e^{-1+1} = a \cdot e^0 = a

\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x^2 - 2) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1

f(-1) = a \cdot e^{-1+1} = a

Igualando los límites para la continuidad:

a = -1

Continuidad en $x = 2$

De manera similar, para que $f(x)$ sea continua en $x = 2$ , los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales.

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} b \cdot \log(12 - x) = b \cdot \log(12 - 2) = b \cdot \log(10)

f(2) = b \cdot \log(12 - 2) = b \cdot \log(10)

Asumiendo que $\log$ denota el logaritmo en base 10 (práctica común en PEvAU para este contexto), entonces $\log(10) = 1$ . Igualando los límites:

2 = b \cdot \log(10)

2 = b \cdot 1

b = 2

Por lo tanto, los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua son $a = -1$ y $b = 2$ .

b) Represente el recinto acotado, limitado por la recta

y = -x + 3

y la parábola

y = -x^2 + 5

. Calcule el área del recinto.

Puntos de intersección

Para encontrar los puntos de intersección entre la recta $y_1 = -x + 3$ y la parábola $y_2 = -x^2 + 5$ , igualamos ambas ecuaciones:

-x + 3 = -x^2 + 5

x^2 - x - 2 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática factorizando o usando la fórmula general:

(x - 2)(x + 1) = 0

Esto nos da los puntos de intersección en $x = 2$ y $x = -1$ . Los valores de $y$ correspondientes son:

\text{Para } x = -1: y = -(-1) + 3 = 4 \implies (-1, 4)

\text{Para } x = 2: y = -(2) + 3 = 1 \implies (2, 1)

Representación del recinto acotado

La parábola $y = -x^2 + 5$ es una parábola que se abre hacia abajo con vértice en $(0, 5)$ . Intersecta al eje $y$ en $(0,5)$ y al eje $x$ en $x = \pm\sqrt{5}$ (aproximadamente $\pm 2.24$ ).La recta $y = -x + 3$ es una recta con pendiente negativa. Intersecta al eje $y$ en $(0, 3)$ y al eje $x$ en $(3, 0)$ .El recinto acotado está limitado por estas dos curvas entre $x = -1$ y $x = 2$ . Para determinar qué función está por encima, podemos probar un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$ :

y_{\text{parábola}}(0) = -0^2 + 5 = 5

y_{\text{recta}}(0) = -0 + 3 = 3

Dado que $5 > 3$ , la parábola $y = -x^2 + 5$ se encuentra por encima de la recta $y = -x + 3$ en el intervalo $(-1, 2)$ .

Cálculo del área

El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones, de la que está por encima menos la que está por debajo, en el intervalo de los puntos de intersección.

A = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 5) - (-x + 3)] dx

A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx

Ahora integramos:

A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}

Evaluamos la expresión en los límites superior e inferior:

A = \left( -\frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2(2) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( -\frac{8}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right)

A = \left( \frac{-8 + 18}{3} \right) - \left( \frac{2 + 3 - 12}{6} \right)

A = \left( \frac{10}{3} \right) - \left( \frac{-7}{6} \right)

A = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}

A = \frac{20}{6} + \frac{7}{6}

A = \frac{27}{6}

A = \frac{9}{2}

El área del recinto acotado es de $\frac{9}{2}$ unidades cuadradas.