La función $f(x)$ está definida por dos expresiones que son continuas en sus respectivos dominios abiertos.Para $x < 2$, $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ es un polinomio, por lo tanto, es continuo.Para $x > 2$, $f(x) = \frac{1}{x-1}$ es una función racional. Su único punto de discontinuidad potencial es $x=1$, el cual no está en el dominio $x > 2$. Por lo tanto, es continua para $x > 2$.Estudiamos la continuidad en el punto de unión $x = 2$:

Dado que $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$, la función es continua en $x=2$.Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$.

Las derivadas de las expresiones en cada intervalo abierto son:

Estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x = 2$:

Dado que las derivadas laterales son iguales, $f(x)$ es derivable en $x=2$.Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en todo $\mathbb{R}$.

Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x)$.Para $x < 2$, $f'(x) = -x + 1$.Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos: $-x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.Analizamos los intervalos $(-\infty, 1)$ y $(1, 2)$:En $(-\infty, 1)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 1 > 0$. Por lo tanto, $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 1)$.En $(1, 2)$, tomamos $x=1.5$: $f'(1.5) = -1.5 + 1 = -0.5 < 0$. Por lo tanto, $f(x)$ es decreciente en $(1, 2)$.En $x=1$, hay un máximo relativo. El valor de la función en este punto es $f(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 + 1 = 1.5$.Para $x > 2$, $f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$.Como $(x-1)^2 > 0$ para $x > 2$, se tiene que $f'(x) < 0$ para $x > 2$. Por lo tanto, $f(x)$ es decreciente en $(2, \infty)$.Resumiendo la monotonía:Creciente en el intervalo $(-\infty, 1)$.Decreciente en el intervalo $(1, \infty)$.Máximo relativo en $x=1$, con $f(1) = 1.5$.

Para $x \le 2$, la función es una parábola $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ que se abre hacia abajo. Su vértice es $(1, 1.5)$, que coincide con el máximo relativo. Corta el eje $Y$ en $(0, 1)$ y el eje $X$ en $x = 1 - \sqrt{3} \approx -0.73$ (para $x \le 2$).Para $x > 2$, la función es $y = \frac{1}{x-1}$. Es una hipérbola con asíntota horizontal $y=0$. En el punto de unión, $f(2) = 1$, lo que asegura la continuidad de la gráfica. A medida que $x$ aumenta, la función se acerca al eje $X$ por valores positivos.Puntos clave para la representación gráfica:$f(0) = 1$ $f(1) = 1.5$ (Vértice / Máximo)$f(2) = 1$ (Punto de unión)$f(3) = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$ $f(4) = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}$

Primero, comprobamos el signo de $f(x)$ en el intervalo $[0, 4]$. Para $x \le 2$, $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$. El vértice es $(1, 1.5)$ y el punto de corte con el eje $X$ relevante es $x = 1 - \sqrt{3} \approx -0.73$. Dado que en $x=0$, $f(0)=1 > 0$, y el vértice es positivo, la parábola está por encima del eje $X$ en $[0, 2]$.Para $x > 2$, $f(x) = \frac{1}{x-1}$. Para $x > 2$, el denominador $x-1$ es positivo, por lo que $f(x) > 0$ en $(2, 4]$.Así, la función $f(x)$ es no negativa en todo el intervalo $[0, 4]$. El área se calcula como la integral definida de $f(x)$ en este intervalo.

Dividimos la integral en dos partes debido a la definición a trozos de la función:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

Sumando ambas partes obtenemos el área total: