T4: Funciones · Funciones a trozos e integrales — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Funciones a trozos e integrales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x + 3 & \text{si } x < 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}

a) Estudie su continuidad y derivabilidad.a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos relativos.c) Represente la región del plano limitada por la gráfica de

f

, las rectas

x = 3

x = 5

y el eje de abscisas. Calcule su área.

Funciones a trozosCálculo integralÁreas+1

a) Estudio de la continuidad y derivabilidad.

La función $f(x)$ está definida a trozos. Cada trozo es una función polinómica, las cuales son continuas y derivables en todo su dominio. Por tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad y derivabilidad en el punto de unión $x=4$ .

Continuidad en $x=4$:

Para que la función sea continua en $x=4$ , deben cumplirse las siguientes condiciones:

1. \; f(4) \text{ existe.}

2. \; \lim_{x \to 4} f(x) \text{ existe.}

3. \; \lim_{x \to 4} f(x) = f(4)

Calculamos $f(4)$ :

f(4) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Calculamos los límites laterales:

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (-x^2 + 4x + 3) = -(4)^2 + 4(4) + 3 = -16 + 16 + 3 = 3

\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (2x - 5) = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3

Dado que $f(4) = 3$ y los límites laterales son ambos $3$ , la función es continua en $x=4$ . Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$ .

Derivabilidad en $x=4$:

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada trozo:

f'(x) = \begin{cases} -2x + 4 & \text{si } x < 4 \\ 2 & \text{si } x > 4 \end{cases}

Ahora, calculamos las derivadas laterales en $x=4$ :

f'_{-}(4) = \lim_{x \to 4^-} (-2x + 4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4

f'_{+}(4) = \lim_{x \to 4^+} (2) = 2

Como $f'_{-}(4) \neq f'_{+}(4)$ , la función no es derivable en $x=4$ . Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{4\}$ .

b) Estudio de la monotonía y cálculo de los extremos relativos.

Para estudiar la monotonía, analizamos el signo de la derivada $f'(x)$ .

f'(x) = \begin{cases} -2x + 4 & \text{si } x < 4 \\ 2 & \text{si } x > 4 \end{cases}

Monotonía:

Consideramos los intervalos donde $f'(x)$ es positiva o negativa.Para $x < 4$ : $f'(x) = -2x + 4$ . Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2

Evaluamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(-\infty, 2)$ y $(2, 4)$ :

\text{En } (-\infty, 2): \text{ Tomamos } x=0. \; f'(0) = -2(0) + 4 = 4 > 0 \implies f(x) \text{ es creciente.}

\text{En } (2, 4): \text{ Tomamos } x=3. \; f'(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 < 0 \implies f(x) \text{ es decreciente.}

Para $x > 4$ : $f'(x) = 2 > 0$ . Por lo tanto, $f(x)$ es creciente en $(4, +\infty)$ .Resumen de la monotonía:- $f(x)$ es creciente en $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$ .- $f(x)$ es decreciente en $(2, 4)$ .

Extremos relativos:

- En $x=2$ : La función cambia de creciente a decreciente, por lo tanto, hay un máximo relativo.

f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 3 = -4 + 8 + 3 = 7

El máximo relativo se encuentra en el punto $(2, 7)$ .- En $x=4$ : La función es continua. Cambia de decreciente a creciente (antes de $x=4$ decrece, después de $x=4$ crece), por lo tanto, hay un mínimo relativo.

f(4) = 3

El mínimo relativo se encuentra en el punto $(4, 3)$ .

c) Representación de la región y cálculo de su área.

La región está limitada por la gráfica de $f$ , las rectas verticales $x = 3$ y $x = 5$ , y el eje de abscisas ( $y=0$ ). Primero, verificamos que $f(x)$ se encuentra por encima del eje de abscisas en el intervalo $[3, 5]$ :

f(3) = -(3)^2 + 4(3) + 3 = -9 + 12 + 3 = 6 > 0

f(4) = 3 > 0

f(5) = 2(5) - 5 = 10 - 5 = 5 > 0

Dado que todos los valores son positivos en el intervalo, el área se calcula directamente mediante la integral de la función. Debido a que la función está definida a trozos, dividimos la integral en dos partes:

A = \int_3^5 f(x) dx = \int_3^4 (-x^2 + 4x + 3) dx + \int_4^5 (2x - 5) dx

Calculamos la primera integral:

\int_3^4 (-x^2 + 4x + 3) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right]_3^4

= \left( -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) + 3(4) \right) - \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) + 3(3) \right)

= \left( -\frac{64}{3} + 32 + 12 \right) - \left( -\frac{27}{3} + 18 + 9 \right)

= \left( -\frac{64}{3} + 44 \right) - \left( -9 + 27 \right)

= \left( \frac{-64 + 132}{3} \right) - 18

= \frac{68}{3} - \frac{54}{3} = \frac{14}{3}

Calculamos la segunda integral:

\int_4^5 (2x - 5) dx = \left[ x^2 - 5x \right]_4^5

= (5^2 - 5(5)) - (4^2 - 5(4))

= (25 - 25) - (16 - 20)

= 0 - (-4) = 4

Sumamos ambas áreas para obtener el área total:

A = \frac{14}{3} + 4 = \frac{14}{3} + \frac{12}{3} = \frac{26}{3}

El área de la región es de $\frac{26}{3}$ unidades cuadradas.