La función $f(x)$ está definida a trozos en el dominio $[-1, 3]$:

Los trozos de la función $f(x)$ son polinomios, por lo que son continuos en sus respectivos intervalos abiertos. Solo es necesario estudiar la continuidad en el punto de unión, $x=1$.Calculamos los límites laterales y el valor de la función en $x=1$:

Como los límites laterales y el valor de la función coinciden en $x=1$ ($1=1=1$), la función $f(x)$ es continua en $x=1$. Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo su dominio $[-1, 3]$.

Calculamos las derivadas de cada trozo:

Estudiamos la derivabilidad en el punto de unión $x=1$.

Como las derivadas laterales coinciden en $x=1$ ($-2 = -2$), la función $f(x)$ es derivable en $x=1$. Por lo tanto, $f(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(-1, 3)$.

La función $g(x)$ es $g(x) = 1$ para $-1 \le x \le 3$.

La función $g(x)$ es una función constante, que es un tipo de función polinómica. Por lo tanto, es continua en todo su dominio $[-1, 3]$.

La derivada de una función constante es cero.

Por lo tanto, $g(x)$ es derivable en el intervalo abierto $(-1, 3)$.

La función $g(x) = 1$ es una recta horizontal.Para $f(x)$:En $[-1, 1]$, $f(x) = 2 - x^2$ es una parábola con vértice en $(0, 2)$ y pasa por $f(-1)=1$ y $f(1)=1$. En este intervalo, $f(x) \ge g(x)$.En $(1, 3]$, $f(x) = (x - 2)^2$ es una parábola con vértice en $(2, 0)$ y pasa por $f(1)=1$ y $f(3)=1$. En este intervalo, $g(x) \ge f(x)$.Las funciones se intersecan en $x=-1, x=1, x=3$. No se puede incluir una imagen aquí, pero la descripción permite visualizar el recinto.

El área total se divide en dos partes, una donde $f(x) \ge g(x)$ y otra donde $g(x) \ge f(x)$.Área $A_1$ en el intervalo $[-1, 1]$:

Área $A_2$ en el intervalo $[1, 3]$:

El área total del recinto es la suma de $A_1$ y $A_2$: