Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, obtenemos la primera derivada de la función $V(t)$:

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

Dividimos por 12:

Factorizando o usando la fórmula cuadrática, obtenemos:

Los puntos críticos son $t=1$ y $t=3$. Ambos se encuentran dentro del intervalo de estudio $[0, 6]$.Estudiamos el signo de $V'(t)$ en los intervalos determinados por los puntos críticos y los extremos del dominio:Para $t \in [0, 1)$ (tomamos $t=0.5$):

Las ventas crecen en el intervalo $[0, 1)$.Para $t \in (1, 3)$ (tomamos $t=2$):

Las ventas decrecen en el intervalo $(1, 3)$.Para $t \in (3, 6]$ (tomamos $t=4$):

Las ventas crecen en el intervalo $(3, 6]$.En resumen, las ventas crecen en $[0, 1) \cup (3, 6]$ y decrecen en $(1, 3)$.Calculamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para encontrar los extremos locales y absolutos:

Los extremos son:\begin{itemize} \item Máximo local en $t=1$ con un valor de ventas de $V(1) = 116$ miles de euros. \item Mínimo local en $t=3$ con un valor de ventas de $V(3) = 100$ miles de euros. \item El máximo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(6) = 316$ miles de euros. \item El mínimo absoluto en el intervalo $[0, 6]$ es $V(0) = V(3) = 100$ miles de euros. \end{itemize}

Para representar gráficamente la función $V(t)$, utilizamos los puntos clave calculados en el apartado anterior y la información de crecimiento y decrecimiento:\begin{itemize} \item Punto inicial: $(0, V(0)) = (0, 100)$ \item Máximo local: $(1, V(1)) = (1, 116)$ \item Mínimo local: $(3, V(3)) = (3, 100)$ \item Punto final: $(6, V(6)) = (6, 316)$ \end{itemize} La gráfica empieza en $(0, 100)$, sube hasta el máximo local en $(1, 116)$, baja hasta el mínimo local en $(3, 100)$ y vuelve a subir hasta el punto final $(6, 316)$. La curva es suave y continua, característica de una función polinómica cúbica.

El área de la región limitada por la gráfica de $V$, la recta $t=6$ y los ejes de coordenadas (es decir, $t=0$ y $V=0$) se calcula mediante la integral definida de $V(t)$ desde $t=0$ hasta $t=6$. Dado que el valor mínimo de $V(t)$ en el intervalo $[0, 6]$ es $100$ (en $t=0$ y $t=3$), la función es siempre positiva, por lo que el área es simplemente la integral.

Calculamos la integral indefinida:

Ahora evaluamos la integral definida en los límites de integración, aplicando la Regla de Barrow:

El área de la región es de $816$ unidades de área. Considerando las unidades del problema (miles de euros y años), el área representa $816$ miles de euros $\cdot$ año.