Para que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$, debe ser continua en cada uno de sus tramos y, además, en el punto de unión $x=1$. Los tramos $x < 1$ y $x \ge 1$ son funciones continuas (exponencial y polinómica, respectivamente).La continuidad en $x=1$ requiere que los límites laterales y el valor de la función en el punto sean iguales:

Para que sea continua, los límites deben ser iguales:

Ahora, comprobamos si la función es derivable para $a=e$.La derivada de $f(x)$ es:

Para $a=e$, la derivada es:

Evaluamos los límites de la derivada en $x=1$:

Dado que $e \ne 2 + e$, la función no es derivable en $x=1$. Por lo tanto, $f$ no es derivable en $\mathbb{R}$ para $a=e$.

Para $x=0$, que es menor que 1, utilizamos la primera parte de la función: $f(x) = 3 + e^x$.Primero, calculamos la coordenada $y$ del punto de tangencia:

El punto de tangencia es $(0, 4)$.Ahora, calculamos la derivada de la función para $x < 1$:

La pendiente de la recta tangente en $x=0$ es:

La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$:

Para $a = -3$, la función es:

La región de interés está limitada por $x = 2$ y $x = 4$. En este intervalo, $x \ge 1$, por lo que usamos $f(x) = x^2 - 3x + 2$.Determinamos los puntos de corte de $f(x)$ con el eje de abscisas en el intervalo $[2,4]$:

Las raíces son $x=1$ y $x=2$. En el intervalo $[2,4]$, la función $f(x)$ es no negativa ($f(2)=0$, y para $x>2$, la parábola $x^2-3x+2$ abre hacia arriba, por lo que toma valores positivos). Por ejemplo, $f(3) = 3^2 - 3(3) + 2 = 2 > 0$ y $f(4) = 4^2 - 3(4) + 2 = 6 > 0$.La región está limitada superiormente por la gráfica de $f(x) = x^2 - 3x + 2$, inferiormente por el eje de abscisas ($y=0$), y lateralmente por las rectas verticales $x=2$ y $x=4$. Como $f(x) \ge 0$ en $[2,4]$, el área se calcula mediante la integral definida:

Calculamos la integral indefinida:

Evaluamos la integral definida:

El área de la región es $\frac{14}{3}$ unidades cuadradas.