La función dada es $f(x) = \frac{2x - 6}{2 - x}$. Es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos valores que anulan el denominador.

Por lo tanto, el dominio de la función es $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Una función racional es continua y derivable en todo su dominio.Continuidad: La función $f(x)$ es continua en $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.Derivabilidad: La función $f(x)$ es derivable en $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.Para estudiar la derivabilidad, calculamos la primera derivada de $f(x)$ usando la regla del cociente:

Asíntotas Verticales (AV): Ocurren en los puntos donde el denominador es cero y el numerador no lo es.

Cuando $x \to 2$, el numerador tiende a $2(2) - 6 = -2$, y el denominador tiende a $0$. Esto indica una asíntota vertical en $x = 2$.

Asíntota Vertical: $x = 2$.Asíntotas Horizontales (AH): Se calculan los límites de la función cuando $x \to \pm \infty$.

Asíntota Horizontal: $y = -2$.Asíntotas Oblicuas (AO): Al existir asíntota horizontal, no existen asíntotas oblicuas.

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, analizamos el signo de la primera derivada $f'(x) = \frac{-2}{(2 - x)^2}$.El denominador $(2 - x)^2$ es siempre positivo para cualquier $x \neq 2$. El numerador es $-2$, que es siempre negativo.Por lo tanto, $f'(x) = \frac{\text{negativo}}{\text{positivo}} = \text{negativo}$ para todo $x \in D_f$.Esto significa que $f'(x) < 0$ para $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$.Intervalos de crecimiento: La función no crece en ningún intervalo.Intervalos de decrecimiento: La función es decreciente en $(-\infty, 2)$ y en $(2, \infty)$.Extremos Relativos: Para que existan extremos relativos, $f'(x)$ debería cambiar de signo o ser igual a cero. Dado que $f'(x)$ es siempre negativa y nunca se anula en su dominio, la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

Corte con el eje OX (haciendo $y = 0$):

El punto de corte con el eje OX es $(3, 0)$.Corte con el eje OY (haciendo $x = 0$):

El punto de corte con el eje OY es $(0, -3)$.

Para representar gráficamente la función, se tienen en cuenta los siguientes elementos:- Asíntota Vertical: $x = 2$ - Asíntota Horizontal: $y = -2$ - Puntos de corte: $(3, 0)$ y $(0, -3)$ - La función es siempre decreciente en su dominio.Con esta información, podemos esbozar la gráfica. La función se aproxima a la asíntota vertical $x=2$ tendiendo a $-\infty$ por la izquierda y a $+\infty$ por la derecha. Se aproxima a la asíntota horizontal $y=-2$ tanto para $x \to -\infty$ como para $x \to +\infty$. Pasa por los puntos $(0, -3)$ y $(3, 0)$ y es continuamente decreciente.