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T4: Funciones
Estudio de funciones y optimización
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
4
Examen

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función:

f(t)={−t2+2t+100≤t≤2.5t2+at+b2.5<t≤5f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t + 10 & 0 \le t \le 2.5 \\ t^2 + at + b & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

donde tt es el tiempo en horas y a,ba, b números reales.

a) ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de aa y bb para que la función ff sea continua y derivable en t=2.5t = 2.5.b) Para a=−8a = -8 y b=22.5b = 22.5, esboce la gráfica de la función ff, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.
Funciones definidas a trozosContinuidadDerivabilidad+2
a) ¿Con qué nivel de concentración el alumno comienza el examen? Determine los valores de aa y bb para que la función ff sea continua y derivable en t=2.5t = 2.5.

El nivel de concentración al inicio del examen, t=0t=0, se obtiene evaluando la primera parte de la función f(t)f(t) en t=0t=0:

f(0)=−(0)2+2(0)+10=10f(0) = -(0)^2 + 2(0) + 10 = 10

El alumno comienza el examen con un nivel de concentración de 10.Para que la función f(t)f(t) sea continua en t=2.5t=2.5, los límites laterales y el valor de la función en ese punto deben ser iguales:

lim⁡t→2.5−f(t)=f(2.5)=−(2.5)2+2(2.5)+10=−6.25+5+10=8.75\lim_{t \to 2.5^-} f(t) = f(2.5) = -(2.5)^2 + 2(2.5) + 10 = -6.25 + 5 + 10 = 8.75
lim⁡t→2.5+f(t)=(2.5)2+a(2.5)+b=6.25+2.5a+b\lim_{t \to 2.5^+} f(t) = (2.5)^2 + a(2.5) + b = 6.25 + 2.5a + b

Igualando los límites:

8.75=6.25+2.5a+b  ⟹  2.5a+b=2.5(1)8.75 = 6.25 + 2.5a + b \quad \implies \quad 2.5a + b = 2.5 \quad (1)

Para que la función f(t)f(t) sea derivable en t=2.5t=2.5, las derivadas laterales deben ser iguales.Primero, calculamos la función derivada f′(t)f'(t):

f′(t)={−2t+20≤t<2.52t+a2.5<t≤5f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 \le t < 2.5 \\ 2t + a & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

Ahora, igualamos las derivadas laterales en t=2.5t=2.5:

lim⁡t→2.5−f′(t)=−2(2.5)+2=−5+2=−3\lim_{t \to 2.5^-} f'(t) = -2(2.5) + 2 = -5 + 2 = -3
lim⁡t→2.5+f′(t)=2(2.5)+a=5+a\lim_{t \to 2.5^+} f'(t) = 2(2.5) + a = 5 + a

Igualando las derivadas laterales:

−3=5+a  ⟹  a=−8-3 = 5 + a \quad \implies \quad a = -8

Sustituimos el valor de a=−8a = -8 en la ecuación (1):

2.5(−8)+b=2.5  ⟹  −20+b=2.5  ⟹  b=22.52.5(-8) + b = 2.5 \quad \implies \quad -20 + b = 2.5 \quad \implies \quad b = 22.5

Por lo tanto, los valores son a=−8a = -8 y b=22.5b = 22.5.

b) Para a=−8a = -8 y b=22.5b = 22.5, esboce la gráfica de la función ff, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

La función es:

f(t)={−t2+2t+100≤t≤2.5t2−8t+22.52.5<t≤5f(t) = \begin{cases} -t^2 + 2t + 10 & 0 \le t \le 2.5 \\ t^2 - 8t + 22.5 & 2.5 < t \le 5 \end{cases}

La función derivada es:

f′(t)={−2t+20≤t<2.52t−82.5<t≤5f'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 \le t < 2.5 \\ 2t - 8 & 2.5 < t \le 5 \end{cases}
Estudio de la monotonía y extremos

Analizamos la primera parte de la función para 0≤t<2.50 \le t < 2.5:

f′(t)=−2t+2f'(t) = -2t + 2

Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

−2t+2=0  ⟹  t=1-2t + 2 = 0 \quad \implies \quad t = 1

Intervalo (0,1)(0, 1): f′(0.5)=−2(0.5)+2=1>0f'(0.5) = -2(0.5) + 2 = 1 > 0, la función es creciente.Intervalo (1,2.5)(1, 2.5): f′(2)=−2(2)+2=−2<0f'(2) = -2(2) + 2 = -2 < 0, la función es decreciente.En t=1t=1 hay un máximo local. El valor de la función en este punto es:

f(1)=−(1)2+2(1)+10=−1+2+10=11f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 10 = -1 + 2 + 10 = 11

Analizamos la segunda parte de la función para 2.5<t≤52.5 < t \le 5:

f′(t)=2t−8f'(t) = 2t - 8

Igualamos a cero para encontrar puntos críticos:

2t−8=0  ⟹  t=42t - 8 = 0 \quad \implies \quad t = 4

Intervalo (2.5,4)(2.5, 4): f′(3)=2(3)−8=−2<0f'(3) = 2(3) - 8 = -2 < 0, la función es decreciente.Intervalo (4,5)(4, 5): f′(4.5)=2(4.5)−8=1>0f'(4.5) = 2(4.5) - 8 = 1 > 0, la función es creciente.En t=4t=4 hay un mínimo local. El valor de la función en este punto es:

f(4)=(4)2−8(4)+22.5=16−32+22.5=6.5f(4) = (4)^2 - 8(4) + 22.5 = 16 - 32 + 22.5 = 6.5
Cálculo de valores en los extremos del intervalo y en el punto de unión

Calculamos los valores de la función en los puntos relevantes:

f(0)=10f(0) = 10
f(1)=11(maˊximolocal)f(1) = 11 \quad (máximo local)
f(2.5)=8.75(puntodeunioˊn)f(2.5) = 8.75 \quad (punto de unión)
f(4)=6.5(mıˊnimolocal)f(4) = 6.5 \quad (mínimo local)
f(5)=(5)2−8(5)+22.5=25−40+22.5=7.5f(5) = (5)^2 - 8(5) + 22.5 = 25 - 40 + 22.5 = 7.5
Niveles máximo y mínimo de concentración

Comparando todos los valores, el nivel máximo de concentración es 11, alcanzado en t=1t=1 hora.El nivel mínimo de concentración es 6.5, alcanzado en t=4t=4 horas.

Esbozo de la gráfica

La gráfica de la función f(t)f(t) estará compuesta por dos parábolas. La primera, f(t)=−t2+2t+10f(t) = -t^2 + 2t + 10, es una parábola con concavidad hacia abajo (vértice en t=1t=1). La segunda, f(t)=t2−8t+22.5f(t) = t^2 - 8t + 22.5, es una parábola con concavidad hacia arriba (vértice en t=4t=4). La continuidad y derivabilidad en t=2.5t=2.5 asegura una transición suave entre ambas.Puntos clave para el esbozo:- Punto inicial: (0,10)(0, 10) - Máximo absoluto: (1,11)(1, 11) - Punto de unión: (2.5,8.75)(2.5, 8.75) - Mínimo absoluto: (4,6.5)(4, 6.5) - Punto final: (5,7.5)(5, 7.5)