La función $f(x)$ está definida por polinomios en los intervalos $(-\infty, 2)$ y $[2, \infty)$, que son funciones continuas en sus respectivos dominios. Por lo tanto, solo necesitamos estudiar la continuidad en el punto donde cambia la definición de la función, es decir, en $x = 2$.Para que la función sea continua en $x = 2$, se deben cumplir tres condiciones:1. La función debe estar definida en $x = 2$:

2. Los límites laterales deben existir y ser iguales:

Dado que ambos límites laterales son iguales a $0$, el límite de $f(x)$ cuando $x \to 2$ existe y es $0$.3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite:

Como se cumplen las tres condiciones, la función $f(x)$ es continua en $x = 2$. Por lo tanto, $f(x)$ es continua en todo su dominio, $x \in \mathbb{R}$.

Primero, calculamos la derivada de cada rama de la función:

En los intervalos $(-\infty, 2)$ y $(2, \infty)$, la función es derivable ya que sus derivadas son polinomios. Necesitamos estudiar la derivabilidad en el punto $x = 2$. Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 2$, las derivadas laterales deben ser iguales (y la función debe ser continua en ese punto, lo cual ya hemos demostrado).1. Derivada por la izquierda en $x = 2$:

2. Derivada por la derecha en $x = 2$:

Dado que las derivadas laterales no son iguales ($-2 \neq 2$), la función $f(x)$ no es derivable en $x = 2$.En resumen, $f(x)$ es continua para todo $x \in \mathbb{R}$ y derivable para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

El recinto está limitado por las rectas verticales $x = -1$ y $x = 1$, la recta $y = 2x$ y la gráfica de la función $f(x)$.En el intervalo de integración $[-1, 1]$, el valor de $x$ es menor que $2$. Por lo tanto, la definición de $f(x)$ que debemos usar es $f(x) = -x^2 + 2x$.Así, el recinto está acotado por $y = 2x$, $y = -x^2 + 2x$, $x = -1$ y $x = 1$.Para calcular el área, necesitamos determinar qué función está por encima de la otra en el intervalo $[-1, 1]$. Consideramos la diferencia entre las dos funciones:

Dado que $x^2 \ge 0$ para todo $x \in [-1, 1]$, la recta $y = 2x$ está por encima o es igual a la gráfica de $f(x) = -x^2 + 2x$ en todo el intervalo. El único punto de contacto es $x=0$.El área del recinto se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones:

Ahora procedemos a calcular la integral:

El área del recinto es $\frac{2}{3}$ unidades cuadradas.