Programación lineal — Matemáticas CCSS II PEvAU Andalucía

Optimización con restricciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

2

EJERCICIO 2

Un fabricante produce mensualmente dos tipos de abonos ecológicos, $A$ y $B$ , que vende en su totalidad, obteniendo unos beneficios de 15 y 10 euros por kilogramo ( $kg$ ), respectivamente. La producción de abono del tipo $A$ no puede superar los $200 \text{ kg}$ ; el doble de la producción de $B$ menos el triple de la producción de $A$ es a lo sumo $100 \text{ kg}$ . Además, la producción de $A$ más el doble de la producción de $B$ es como mucho de $500 \text{ kg}$ . Obtenga las cantidades que este fabricante debe producir de sendos abonos para obtener el máximo beneficio e indique el valor de este beneficio.

Programación linealMaximización de beneficiosInecuaciones

Planteamiento del problema

Sean las variables de decisión:

x

: Kilogramos de abono tipo

A

producidos mensualmente.

y

: Kilogramos de abono tipo

B

producidos mensualmente.

La función objetivo a maximizar es el beneficio total:

Z(x, y) = 15x + 10y

Sujeto a las siguientes restricciones:

x \leq 200

(Producción máxima de

A

)

2y - 3x \leq 100 \implies -3x + 2y \leq 100

x + 2y \leq 500

x \geq 0, y \geq 0

(Restricciones de no negatividad)

Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de corte de las rectas que delimitan la región factible:

A(0, 0)

: Intersección de

x=0

e

y=0

.

B(0, 50)

: Intersección de

x=0

con

-3x + 2y = 100

.

C(100, 200)

: Intersección de

-3x + 2y = 100

y

x + 2y = 500

. Resolviendo el sistema:

4x = 400 \implies x = 100

;

100 + 2y = 500 \implies y = 200

.

D(200, 150)

: Intersección de

x + 2y = 500

y

x = 200

. Sustituyendo:

200 + 2y = 500 \implies 2y = 300 \implies y = 150

.

E(200, 0)

: Intersección de

x = 200

e

y = 0

.

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $Z(x, y) = 15x + 10y$ en cada uno de los vértices hallados:

Z(0, 0) = 15(0) + 10(0) = 0 \text{ euros}

Z(0, 50) = 15(0) + 10(50) = 500 \text{ euros}

Z(100, 200) = 15(100) + 10(200) = 1500 + 2000 = 3500 \text{ euros}

Z(200, 150) = 15(200) + 10(150) = 3000 + 1500 = 4500 \text{ euros}

Z(200, 0) = 15(200) + 10(0) = 3000 \text{ euros}

Conclusión

Para obtener el máximo beneficio, el fabricante debe producir $200 \text{ kg}$ de abono tipo $A$ y $150 \text{ kg}$ de abono tipo $B$ . El beneficio máximo obtenido será de $4500 \text{ euros}$ mensuales.

T3: Programación lineal

Optimización de beneficios

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

2

Una agricultora vende en su tienda online frutas y hortalizas envasándolas en cajas de dos tipos diferentes. La caja "El regalo de la tierra" la vende a $19.75 \text{ \,\text{euros}}$ y contiene $3 \text{ kg}$ de frutas y $3.5 \text{ kg}$ de hortalizas. La caja "El tesoro de la huerta" contiene $2 \text{ kg}$ de frutas y $4 \text{ kg}$ de hortalizas y la vende a $18.50 \text{ \,\text{euros}}$ . La agricultora dispone semanalmente de $210 \text{ kg}$ de hortalizas y $150 \text{ kg}$ de frutas. Debe vender al menos $12$ cajas de "El regalo de la tierra" y no menos de $15$ cajas de "El tesoro de la huerta". ¿Cuántas cajas de cada tipo debe vender a la semana para que el ingreso por la venta sea máximo? ¿A cuánto asciende este ingreso?

Programación linealOptimizaciónRestricciones

Resolución del problema de programación lineal

Definimos las variables del problema basándonos en el número de cajas de cada tipo que se deben vender a la semana:

x

: Número de cajas tipo "El regalo de la tierra".

y

: Número de cajas tipo "El tesoro de la huerta".

La función que representa los ingresos totales y que deseamos maximizar es:

I(x, y) = 19.75x + 18.50y

Las restricciones del problema, dadas por la disponibilidad de fruta y hortalizas, así como por los mínimos de venta, son las siguientes:

Frutas:

3x + 2y \le 150

Hortalizas:

3.5x + 4y \le 210

(equivalente a

7x + 8y \le 420

)Mínimo caja 1:

x \ge 12

Mínimo caja 2:

y \ge 15

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del recinto cerrado delimitado por estas inecuaciones:

Vértice A: Intersección de

x=12

e

y=15

. Obtenemos el punto

(12, 15)

.Vértice B: Intersección de

y=15

y

3x + 2y = 150

. Sustituyendo:

3x + 2(15) = 150 \Rightarrow 3x = 120 \Rightarrow x = 40

. Obtenemos el punto

(40, 15)

.Vértice C: Intersección de

3x + 2y = 150

y

3.5x + 4y = 210

. Resolviendo el sistema por reducción: multiplicamos la primera por

-2

, obteniendo

-6x - 4y = -300

; sumamos a la segunda:

-2.5x = -90 \Rightarrow x = 36

. Sustituyendo

x

:

3(36) + 2y = 150 \Rightarrow 108 + 2y = 150 \Rightarrow 2y = 42 \Rightarrow y = 21

. Obtenemos el punto

(36, 21)

.Vértice D: Intersección de

x=12

y

3.5x + 4y = 210

. Sustituyendo:

3.5(12) + 4y = 210 \Rightarrow 42 + 4y = 210 \Rightarrow 4y = 168 \Rightarrow y = 42

. Obtenemos el punto

(12, 42)

.

Evaluamos la función objetivo $I(x, y)$ en cada uno de los vértices para hallar el valor máximo:

I(12, 15) = 19.75(12) + 18.50(15) = 237 + 277.5 = 514.5 \text{ \,\text{euros}}

I(40, 15) = 19.75(40) + 18.50(15) = 790 + 277.5 = 1067.5 \text{ \,\text{euros}}

I(36, 21) = 19.75(36) + 18.50(21) = 711 + 388.5 = 1099.5 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 42) = 19.75(12) + 18.50(42) = 237 + 777 = 1014 \text{ \,\text{euros}}

Para que el ingreso por la venta sea máximo, la agricultora debe vender semanalmente 36 cajas de "El regalo de la tierra" y 21 cajas de "El tesoro de la huerta". El ingreso máximo asciende a $1099.50 \text{ \,\text{euros}}$ .

T3: Programación lineal

Optimización de recursos

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

2

BLOQUE A - EJERCICIO 2

Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?

Programación linealMinimizaciónRestricciones

Resolución del problema de programación lineal

a) Definición de variables y función objetivo

Definimos las variables del problema basándonos en las cantidades de lechuga a cultivar: $x$ : número de lechugas de tipo iceberg. $y$ : número de lechugas de tipo romana.El objetivo es minimizar el consumo total de agua, que viene dado por la función:

f(x, y) = 15x + 18y

b) Planteamiento de las restricciones

Traducimos las condiciones del enunciado a un sistema de inecuaciones lineales:1. La cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana: $x \geq \frac{y}{2} \implies 2x - y \geq 0$ . 2. La cantidad de iceberg no puede superar las 1500 unidades: $x \leq 1500$ . 3. El total de lechugas debe estar entre 900 y 2400: $900 \leq x + y \leq 2400$ . 4. Las cantidades no pueden ser negativas: $x \geq 0, y \geq 0$ .

c) Determinación de la región factible y vértices

La región factible es el polígono delimitado por las restricciones anteriores. Calculamos los vértices mediante la intersección de las rectas correspondientes:• $A$ : Intersección de $2x - y = 0$ y $x + y = 900 \implies 3x = 900 \implies A(300, 600)$ . • $B$ : Intersección de $2x - y = 0$ y $x + y = 2400 \implies 3x = 2400 \implies B(800, 1600)$ . • $C$ : Intersección de $x = 1500$ y $x + y = 2400 \implies C(1500, 900)$ . • $D$ : Intersección de $x = 1500$ y $y = 0 \implies D(1500, 0)$ . • $E$ : Intersección de $x + y = 900$ y $y = 0 \implies E(900, 0)$ .

d) Evaluación y solución óptima

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 15x + 18y$ en cada uno de los vértices hallados:• $f(300, 600) = 15(300) + 18(600) = 4500 + 10800 = 15300$ litros. • $f(800, 1600) = 15(800) + 18(1600) = 12000 + 28800 = 40800$ litros. • $f(1500, 900) = 15(1500) + 18(900) = 22500 + 16200 = 38700$ litros. • $f(1500, 0) = 15(1500) + 18(0) = 22500$ litros. • $f(900, 0) = 15(900) + 18(0) = 13500$ litros.El consumo mínimo de agua se alcanza cultivando 900 unidades de lechuga iceberg y 0 unidades de lechuga romana, resultando en un consumo total de 13500 litros de agua.

T3: Programación lineal

Optimización lineal

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

2

Un servicio técnico recibe un encargo para revisar lavadoras y frigoríficos de una empresa de apartahoteles. La revisión de cada lavadora requiere 100 minutos de trabajo, mientras que cada frigorífico requiere 50 minutos. El servicio técnico dispone de 26 horas y 40 minutos para hacer las revisiones. Por política de empresa, no se aceptan encargos de más de 12 lavadoras ni de más de 16 frigoríficos. Sabiendo que las revisiones se pagan a $50 \text{ \euro}$ la hora, en ambos tipos de electrodomésticos, ¿cuántos electrodomésticos de cada clase debe revisar el servicio técnico para maximizar el ingreso con el encargo? ¿A cuánto asciende este ingreso máximo?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Definimos las variables del problema basándonos en las cantidades de cada electrodoméstico a revisar: $x$ : número de lavadoras a revisar. $y$ : número de frigoríficos a revisar.

1. Restricciones del problema

Convertimos el tiempo disponible a minutos: $26 \text{ h y } 40 \text{ min} = 26 \cdot 60 + 40 = 1560 + 40 = 1600 \text{ minutos}$ . Las restricciones son:

Tiempo de trabajo:

100x + 50y \le 1600

. Simplificando (dividiendo entre 50):

2x + y \le 32

.Límite de lavadoras:

x \le 12

.Límite de frigoríficos:

y \le 16

.Condiciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

.

2. Función objetivo

El ingreso se calcula en función del tiempo trabajado a razón de $50 \text{ \,\text{euros}/hora}$ ( $5/6 \text{ \,\text{euros}/minuto}$ ):

I(x, y) = \frac{5}{6}(100x + 50y) = \frac{500}{6}x + \frac{250}{6}y = \frac{250}{3}x + \frac{125}{3}y

3. Región factible y vértices

Calculamos los vértices de la región factible mediante el sistema de desigualdades:

A(0, 0)

: Origen.

B(12, 0)

: Intersección de

x=12

e

y=0

.

C(12, 8)

: Intersección de

x=12

y

2x + y = 32

(

2 \cdot 12 + y = 32 \Rightarrow y = 8

).

D(8, 16)

: Intersección de

y=16

y

2x + y = 32

(

2x + 16 = 32 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8

).

E(0, 16)

: Intersección de

x=0

e

y=16

.

4. Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $I(x, y)$ en cada vértice para hallar el máximo:

I(0, 0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 0) = \frac{250}{3}(12) + 0 = 1000 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 8) = \frac{250 \cdot 12 + 125 \cdot 8}{3} = \frac{3000 + 1000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333,33 \text{ \,\text{euros}}

I(8, 16) = \frac{250 \cdot 8 + 125 \cdot 16}{3} = \frac{2000 + 2000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333,33 \text{ \,\text{euros}}

I(0, 16) = 0 + \frac{125 \cdot 16}{3} = \frac{2000}{3} \approx 666,67 \text{ \,\text{euros}}

Solución

Se obtiene un ingreso máximo de $1333,33 \text{ \,\text{euros}}$ . Este valor se alcanza en cualquier punto del segmento que une los vértices $(8, 16)$ y $(12, 8)$ . Considerando valores enteros, el servicio técnico puede elegir cualquiera de las siguientes combinaciones:

8 lavadoras y 16 frigoríficos.9 lavadoras y 14 frigoríficos.10 lavadoras y 12 frigoríficos.11 lavadoras y 10 frigoríficos.12 lavadoras y 8 frigoríficos.

T3: Programación lineal

Problemas de optimización con programación lineal

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

2

Una empresa de catering dispone semanalmente de 58 horas de cocina, 50 horas de empaquetado y $60 \text{ dm}^3$ de almacenamiento en cámaras frigoríficas para elaborar dos tipos de menús: premium y estándar. Ambos menús requieren tiempo, tanto de preparación como de empaquetado, y espacio de almacenamiento en frigoríficos. Concretamente, el menú premium requiere de 2 horas de cocina, 2 horas de empaquetado y ocupa $1 \text{ dm}^3$ en frigoríficos. Por su parte, el menú estándar requiere de 3 horas de cocina, 1 hora de empaquetado y ocupa $4 \text{ dm}^3$ en frigoríficos. El beneficio obtenido por cada menú premium es de $10.50 \text{ \,\text{euros}}$ y por cada menú estándar es de $5.50 \text{ \,\text{euros}}$ . La empresa sabe que venderá todos los menús producidos. Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio.

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

Definición de variables

Sean las variables que representan el número de menús elaborados semanalmente: $x$ : número de menús premium. $y$ : número de menús estándar.

Función objetivo y restricciones

Se desea maximizar el beneficio total $B(x, y)$ , sujeto a las limitaciones de tiempo de cocina, empaquetado y capacidad de almacenamiento:

\text{Maximizar } B(x, y) = 10.5x + 5.5y

Sujeto a las siguientes restricciones:

\begin{cases} 2x + 3y \le 58 & (\text{Cocina}) \\ 2x + y \le 50 & (\text{Empaquetado}) \\ x + 4y \le 60 & (\text{Almacenamiento}) \\ x \ge 0, \, y \ge 0 & \end{cases}

Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de corte de las rectas para hallar los vértices del polígono de soluciones factibles:

1) Intersección con los ejes:

(0,0)

,

(25, 0)

(de

2x+y=50

) y

(0, 15)

(de

x+4y=60

).2) Intersección de

2x + 3y = 58

y

x + 4y = 60

: Resolviendo el sistema obtenemos

x = 10.4, y = 12.4

.3) Intersección de

2x + 3y = 58

y

2x + y = 50

: Restando ambas ecuaciones,

2y = 8 \Rightarrow y = 4

. Sustituyendo,

2x + 4 = 50 \Rightarrow 2x = 46 \Rightarrow x = 23

. El vértice es

(23, 4)

.

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $B(x, y) = 10.5x + 5.5y$ en cada uno de los vértices de la región factible:

a)

B(0, 0) = 10.5(0) + 5.5(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

b)

B(0, 15) = 10.5(0) + 5.5(15) = 82.5 \text{ \,\text{euros}}

c)

B(10.4, 12.4) = 10.5(10.4) + 5.5(12.4) = 109.2 + 68.2 = 177.4 \text{ \,\text{euros}}

d)

B(23, 4) = 10.5(23) + 5.5(4) = 241.5 + 22 = 263.5 \text{ \,\text{euros}}

e)

B(25, 0) = 10.5(25) + 5.5(0) = 262.5 \text{ \,\text{euros}}

Solución final

El beneficio máximo se alcanza elaborando 23 menús premium y 4 menús estándar. El beneficio total semanal asciende a $263.50 \text{ \,\text{euros}}$ .

T3: Programación lineal

Optimización con restricciones

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

2

Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, $A$ y $B$ , y para ello dispone de $50 \text{ g}$ de oro, $40 \text{ g}$ de platino y $25 \text{ g}$ de plata. Para fabricar las del tipo $A$ necesita $1 \text{ g}$ de oro y $2 \text{ g}$ de platino, mientras que para las del tipo $B$ requiere $2 \text{ g}$ de oro, $1 \text{ g}$ de platino y $1 \text{ g}$ de plata. Cada pulsera del tipo $A$ se vende por $150 \text{ \,\text{euros}}$ y cada una del tipo $B$ por $200 \text{ \,\text{euros}}$ . Si se vende toda la producción, ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará cuando se fabrique el número de joyas que proporciona el máximo beneficio?

OptimizaciónIngresosRestricciones

Planteamiento del problema de programación lineal

Sean $x$ el número de pulseras de tipo $A$ e $y$ el número de pulseras de tipo $B$ . El objetivo es maximizar la función de ingresos $I(x, y) = 150x + 200y$ bajo las siguientes restricciones basadas en los recursos disponibles:

\begin{cases} x + 2y \le 50 & \text{(Disponibilidad de oro)} \\ 2x + y \le 40 & \text{(Disponibilidad de platino)} \\ y \le 25 & \text{(Disponibilidad de plata)} \\ x \ge 0, y \ge 0 & \text{(No negatividad)} \end{cases}

Cálculo de los vértices de la región factible

La región factible está limitada por los ejes de coordenadas y las rectas correspondientes a las restricciones. Calculamos los puntos de intersección para determinar los vértices:

1. Intersección de los ejes:

A(0, 0)

.2. Intersección de

2x + y = 40

con el eje

OX

(

y=0

):

2x = 40 \implies x = 20

. Vértice

B(20, 0)

.3. Intersección de

x + 2y = 50

y

2x + y = 40

: Multiplicando la segunda por

-2

y sumando:

-3x = -30 \implies x = 10

. Sustituyendo,

10 + 2y = 50 \implies 2y = 40 \implies y = 20

. Vértice

C(10, 20)

.4. Intersección de

x + 2y = 50

con el eje

OY

(

x=0

):

2y = 50 \implies y = 25

. Como este punto cumple también

y \le 25

, es el vértice

D(0, 25)

.

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $I(x, y) = 150x + 200y$ en cada vértice para encontrar el máximo:

I(0, 0) = 150(0) + 200(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

I(20, 0) = 150(20) + 200(0) = 3000 \text{ \,\text{euros}}

I(10, 20) = 150(10) + 200(20) = 1500 + 4000 = 5500 \text{ \,\text{euros}}

I(0, 25) = 150(0) + 200(25) = 5000 \text{ \,\text{euros}}

Resultados finales y sobrante de materiales

Para maximizar los ingresos, el joyero debe fabricar 10 pulseras del tipo $A$ y 20 pulseras del tipo $B$ . Los ingresos totales ascenderán a $5500 \text{ \,\text{euros}}$ .Calculamos la cantidad de metal utilizada en el punto óptimo $(10, 20)$ para determinar el sobrante:

Oro utilizado:

1(10) + 2(20) = 50 \text{ g}

. Sobra:

50 - 50 = 0 \text{ g}

de oro.Platino utilizado:

2(10) + 1(20) = 40 \text{ g}

. Sobra:

40 - 40 = 0 \text{ g}

de platino.Plata utilizada:

0(10) + 1(20) = 20 \text{ g}

. Sobra:

25 - 20 = 5 \text{ g}

de plata.

T3: Programación lineal

Problemas de optimización

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

2

Para un proyecto de software libre se dispone de 150 desarrolladores de Javascript y 120 de Python. Es necesario formar equipos de trabajo de dos tipos. El primer tipo estará compuesto por 2 desarrolladores de Javascript y 3 de Python, y el segundo tipo por 6 de Javascript y 4 de Python. Se requieren al menos 6 equipos del segundo tipo. Determine cuántos equipos de cada tipo se podrán formar para obtener el mayor número de equipos posible. En tal caso, ¿cuántos desarrolladores de Javascript y Python se utilizarán?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Planteamiento del problema de programación lineal

Definimos las variables de decisión del problema:

x

: número de equipos de tipo 1.

y

: número de equipos de tipo 2.

La función objetivo a maximizar es el número total de equipos:

f(x, y) = x + y

Las restricciones del problema, basadas en la disponibilidad de desarrolladores y las condiciones del enunciado, son:

Javascript:

2x + 6y \le 150 \implies x + 3y \le 75

Python:

3x + 4y \le 120

Mínimo de equipos tipo 2:

y \ge 6

No negatividad:

x \ge 0

Determinación de la región factible y vértices

Calculamos los vértices de la región factible resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas correspondientes:

Intersección de

x + 3y = 75

y

3x + 4y = 120

: Multiplicando la primera por

-3

y sumando, obtenemos

-5y = -105 \implies y = 21

. Sustituyendo,

x = 75 - 3(21) = 12

. Vértice

A(12, 21)

.Intersección de

3x + 4y = 120

e

y = 6

:

3x + 4(6) = 120 \implies 3x = 96 \implies x = 32

. Vértice

B(32, 6)

.Intersección de

x = 0

e

y = 6

: Vértice

C(0, 6)

.Intersección de

x = 0

y

x + 3y = 75

:

3y = 75 \implies y = 25

. Vértice

D(0, 25)

.

Optimización

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices hallados:

f(0, 6) = 0 + 6 = 6

f(32, 6) = 32 + 6 = 38

f(12, 21) = 12 + 21 = 33

f(0, 25) = 0 + 25 = 25

El valor máximo es 38 y se alcanza formando 32 equipos de tipo 1 y 6 equipos de tipo 2.

Cálculo de recursos utilizados

Para el caso óptimo ( $x=32, y=6$ ), calculamos el número de desarrolladores empleados:

Javascript:

2(32) + 6(6) = 64 + 36 = 100

desarrolladores.Python:

3(32) + 4(6) = 96 + 24 = 120

desarrolladores.

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

2

Una empresa tiene un presupuesto de 78000 € para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión. El coste de emisión de un anuncio de radio es de 2400 € y de un anuncio de televisión de 3600 €. La empresa quiere que la diferencia entre el número de anuncios emitidos de cada tipo no sea mayor que 10 y que se emitan un mínimo de 10 anuncios en total. Si la emisión de un anuncio de radio llega a 34000 personas y de un anuncio de televisión a 72000 personas, ¿cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Planteamiento del problema de Programación Lineal

Definimos las variables del problema basándonos en el número de anuncios a contratar: $x$ : número de anuncios de radio. $y$ : número de anuncios de televisión.

La función objetivo, que representa la audiencia total que se desea maximizar, es:

f(x, y) = 34000x + 72000y

Las restricciones del problema se derivan de las condiciones dadas:

1. Presupuesto disponible: $2400x + 3600y \leq 78000$ . Simplificando entre 1200 obtenemos $2x + 3y \leq 65$ .2. Diferencia entre anuncios no mayor que 10: $|x - y| \leq 10$ , lo que genera dos inecuaciones: $x - y \leq 10$ y $y - x \leq 10$ .3. Mínimo de 10 anuncios en total: $x + y \geq 10$ .4. No negatividad: $x \geq 0, y \geq 0$ .

Determinación de la región factible y vértices

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar los vértices de la región factible:Vértice $A$ : Intersección de $x + y = 10$ y $y - x = 10$ .

\begin{cases} x + y = 10 \\ -x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10, x = 0 \Rightarrow A(0, 10)

Vértice $B$ : Intersección de $y - x = 10$ y $2x + 3y = 65$ .

\begin{cases} -x + y = 10 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases} \Rightarrow 2(y - 10) + 3y = 65 \Rightarrow 5y = 85 \Rightarrow y = 17, x = 7 \Rightarrow B(7, 17)

Vértice $C$ : Intersección de $2x + 3y = 65$ y $x - y = 10$ .

\begin{cases} 2x + 3y = 65 \\ x - y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2(y + 10) + 3y = 65 \Rightarrow 5y = 45 \Rightarrow y = 9, x = 19 \Rightarrow C(19, 9)

Vértice $D$ : Intersección de $x - y = 10$ y $x + y = 10$ .

\begin{cases} x - y = 10 \\ x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10, y = 0 \Rightarrow D(10, 0)

Evaluación de la función objetivo

Calculamos el valor de la audiencia $f(x, y) = 34000x + 72000y$ en cada uno de los vértices hallados: $f(0, 10) = 34000(0) + 72000(10) = 720000$ personas. $f(7, 17) = 34000(7) + 72000(17) = 238000 + 1224000 = 1462000$ personas. $f(19, 9) = 34000(19) + 72000(9) = 646000 + 648000 = 1294000$ personas. $f(10, 0) = 34000(10) + 72000(0) = 340000$ personas.

Conclusión

Para maximizar la audiencia, la empresa debe contratar 7 emisiones de radio y 17 emisiones de televisión. La audiencia máxima alcanzada será de 1,462,000 personas.

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

2

EJERCICIO 2

Un centro de bricolaje, que almacena bidones de pintura de interior y de exterior, cuenta con una capacidad máxima de almacenaje de $160$ bidones. Por una cuestión logística, en el almacén deben mantenerse al menos $60$ bidones, siendo como mínimo $20$ bidones de pintura interior. Además, el número de bidones de pintura exterior almacenados no podrá ser inferior al de pintura interior. Se sabe que el gasto diario por almacenar cada bidón de pintura interior es de $1.50\,\text{euros}$ y por cada bidón de pintura exterior es de $0.90\,\text{euros}$ . Calcule cuántos bidones de cada tipo se deben almacenar para que el gasto diario sea mínimo e indique cuánto supone ese gasto mínimo.

Programación linealOptimizaciónInecuaciones

Resolución del ejercicio de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : Número de bidones de pintura de interior. $y$ : Número de bidones de pintura de exterior.A continuación, establecemos la función objetivo, que representa el gasto diario total que deseamos minimizar:

f(x, y) = 1.50x + 0.90y

Las restricciones del problema, basadas en el enunciado, son las siguientes:

1) Capacidad máxima de almacenaje:

x + y \leq 160

2) Capacidad mínima de almacenaje:

x + y \geq 60

3) Mínimo de bidones de pintura interior:

x \geq 20

4) El número de bidones de pintura exterior no es inferior al de interior:

y \geq x \Rightarrow x - y \leq 0

5) No negatividad:

x \geq 0, y \geq 0

(implícitas en las anteriores)

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono formado por la intersección de las rectas asociadas a las restricciones:

Vértice

A

: Intersección de

x = 20

y

x + y = 60 \Rightarrow (20) + y = 60 \Rightarrow y = 40

. Punto

A(20, 40)

.Vértice

B

: Intersección de

x = 20

y

x + y = 160 \Rightarrow (20) + y = 160 \Rightarrow y = 140

. Punto

B(20, 140)

.Vértice

C

: Intersección de

x + y = 160

y

y = x \Rightarrow x + x = 160 \Rightarrow 2x = 160 \Rightarrow x = 80, y = 80

. Punto

C(80, 80)

.Vértice

D

: Intersección de

x + y = 60

y

y = x \Rightarrow x + x = 60 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30, y = 30

. Punto

D(30, 30)

.

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 1.50x + 0.90y$ en cada uno de los vértices para hallar el valor mínimo:

f(20, 40) = 1.50 \cdot 20 + 0.90 \cdot 40 = 30 + 36 = 66 \,\text{euros}

f(20, 140) = 1.50 \cdot 20 + 0.90 \cdot 140 = 30 + 126 = 156 \,\text{euros}

f(80, 80) = 1.50 \cdot 80 + 0.90 \cdot 80 = 120 + 72 = 192 \,\text{euros}

f(30, 30) = 1.50 \cdot 30 + 0.90 \cdot 30 = 45 + 27 = 72 \,\text{euros}

Al comparar los resultados, observamos que el gasto mínimo diario se alcanza en el vértice $A(20, 40)$ .Por lo tanto, para minimizar el gasto diario, se deben almacenar $20$ bidones de pintura de interior y $40$ bidones de pintura de exterior. El gasto mínimo asciende a $66 \,\text{euros}$ diarios.

T3: Programación lineal

Optimización con restricciones

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

2

A una tienda de decoración le han encargado decorar las mesas de un salón de celebraciones con centros florales y candelabros. En el salón se montan siempre entre 12 y 40 mesas. En cada mesa solo se puede colocar un centro floral o un candelabro y, además, el número de candelabros no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales. Si el precio de cada centro floral es de 32 € y el de cada candelabro de 35 €, ¿cuántos artículos de cada tipo debe seleccionar la tienda para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

Programación linealOptimizaciónMaximización de ingresos

Resolución del problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema basándonos en los dos tipos de artículos a colocar en las mesas:

x

: número de centros florales.

y

: número de candelabros.

La función que queremos maximizar es la de los ingresos totales, definida por los precios de cada artículo:

f(x, y) = 32x + 35y

A continuación, establecemos el sistema de restricciones según las condiciones del enunciado:

1) Número total de mesas (entre 12 y 40):

12 \le x + y \le 40

2) Proporción de candelabros respecto a centros florales (

y \le \frac{1}{3}x

):

x - 3y \ge 0

3) No negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para determinar la región factible, hallamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas límite:

Vértice

A

: Intersección de

x + y = 12

y

x - 3y = 0 \implies (9, 3)

Vértice

B

: Intersección de

x + y = 12

y

y = 0 \implies (12, 0)

Vértice

C

: Intersección de

x + y = 40

y

y = 0 \implies (40, 0)

Vértice

D

: Intersección de

x + y = 40

y

x - 3y = 0 \implies (30, 10)

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 32x + 35y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo:

f(9, 3) = 32(9) + 35(3) = 288 + 105 = 393

€

f(12, 0) = 32(12) + 35(0) = 384

€

f(40, 0) = 32(40) + 35(0) = 1280

€

f(30, 10) = 32(30) + 35(10) = 960 + 350 = 1310

€

Para maximizar los ingresos, la tienda debe seleccionar 30 centros florales y 10 candelabros. Dichos ingresos ascenderán a un total de 1310 €.

T3: Programación lineal

Optimización con restricciones

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

2

Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de $30000 \text{ m}^3$ de agua, de $5500 \text{ kg}$ de abono y de $3000 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita $1500 \text{ m}^3$ de agua, $110 \text{ kg}$ de abono y $80 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de $100 \text{ kg}$ de abono y $50 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de $5000 \text{ kg}$ en secano y de $10000 \text{ kg}$ en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción máxima esperada.

Programación linealOptimizaciónMaximización

Resolución del Problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: número de hectáreas de olivar de regadío a cultivar.

y

: número de hectáreas de olivar de secano a cultivar.

La función objetivo a maximizar es la producción total anual $P(x, y)$ en kilogramos:

P(x, y) = 10000x + 5000y

Las restricciones del problema, basadas en la disponibilidad de recursos y los requisitos mínimos, son:

Mínimo de secano:

y \ge 20

Agua:

1500x \le 30000 \implies x \le 20

Abono:

110x + 100y \le 5500 \implies 11x + 10y \le 550

Productos fitosanitarios:

80x + 50y \le 3000 \implies 8x + 5y \le 300

No negatividad:

x \ge 0

(la condición

y \ge 20

ya implica

y > 0

)

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono formado por las intersecciones de las rectas de restricción:

V_1

: Intersección de

x = 0

e

y = 20 \to (0, 20)

V_2

: Intersección de

x = 0

y

11x + 10y = 550 \to (0, 55)

V_3

: Intersección de

11x + 10y = 550

y

8x + 5y = 300

. Multiplicando la segunda por

-2

:

11x + 10y = 550

y

-16x - 10y = -600

. Sumando obtenemos

-5x = -50 \implies x = 10

. Sustituyendo:

8(10) + 5y = 300 \implies y = 44 \to (10, 44)

V_4

: Intersección de

x = 20

y

8x + 5y = 300

. Sustituyendo:

8(20) + 5y = 300 \implies 160 + 5y = 300 \implies 5y = 140 \implies y = 28 \to (20, 28)

V_5

: Intersección de

x = 20

e

y = 20 \to (20, 20)

Evaluamos la función objetivo $P(x, y)$ en cada uno de los vértices hallados:

P(0, 20) = 10000(0) + 5000(20) = 100000 \text{ kg}

P(0, 55) = 10000(0) + 5000(55) = 275000 \text{ kg}

P(10, 44) = 10000(10) + 5000(44) = 100000 + 220000 = 320000 \text{ kg}

P(20, 28) = 10000(20) + 5000(28) = 200000 + 140000 = 340000 \text{ kg}

P(20, 20) = 10000(20) + 5000(20) = 200000 + 100000 = 300000 \text{ kg}

El valor máximo se alcanza con 20 hectáreas de regadío y 28 hectáreas de secano. La producción máxima esperada es de $340000 \text{ kg}$ .

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

2

Una compañía de transporte marítimo de mercancías dispone de dos barcos $B_1$ y $B_2$ para realizar una determinada ruta, durante un año, entre dos ciudades costeras europeas. El barco $B_1$ no puede realizar más de 14 viajes y debe realizar tantos viajes o más que el barco $B_2$ . Entre los dos barcos deben realizar al menos 10 viajes y como mucho 24. La compañía obtiene unos beneficios de $15000$ € por cada viaje del barco $B_1$ y $17000$ € por cada viaje del barco $B_2$ . Halle el número de viajes que debe realizar cada barco para que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo y obtenga dicho beneficio.

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

Planteamiento del problema

Sean $x$ e $y$ el número de viajes realizados por los barcos $B_1$ y $B_2$ respectivamente. La función de beneficios que queremos maximizar es:

f(x, y) = 15000x + 17000y

Las restricciones dadas por el enunciado son:

El barco

B_1

no puede realizar más de 14 viajes:

x \le 14

Realizar tantos viajes o más que el barco

B_2

:

x \ge y

(o

x - y \ge 0

)Al menos 10 viajes entre los dos barcos:

x + y \ge 10

Como mucho 24 viajes entre los dos barcos:

x + y \le 24

Restricciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Cálculo de los vértices de la región factible

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan la región factible:

Vértice A: Intersección de

x + y = 10

e

y = 0

. Obtenemos

A(10, 0)

.Vértice B: Intersección de

x = 14

e

y = 0

. Obtenemos

B(14, 0)

.Vértice C: Intersección de

x = 14

y

x + y = 24

. Sustituyendo

x

,

14 + y = 24 \Rightarrow y = 10

. Obtenemos

C(14, 10)

.Vértice D: Intersección de

x = y

y

x + y = 24

. Sustituyendo,

2x = 24 \Rightarrow x = 12, y = 12

. Obtenemos

D(12, 12)

.Vértice E: Intersección de

x = y

y

x + y = 10

. Sustituyendo,

2x = 10 \Rightarrow x = 5, y = 5

. Obtenemos

E(5, 5)

.

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos el beneficio en cada uno de los vértices calculados:

f(10, 0) = 15000(10) + 17000(0) = 150000

€

f(14, 0) = 15000(14) + 17000(0) = 210000

€

f(14, 10) = 15000(14) + 17000(10) = 210000 + 170000 = 380000

€

f(12, 12) = 15000(12) + 17000(12) = 180000 + 204000 = 384000

€

f(5, 5) = 15000(5) + 17000(5) = 75000 + 85000 = 160000

€

Conclusión

El beneficio máximo se alcanza realizando 12 viajes con el barco $B_1$ y 12 viajes con el barco $B_2$ . El beneficio máximo obtenido por la empresa es de 384000 €.

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

1

Una empresa de pinturas quiere elaborar botes de pintura de dos colores nuevos: Júpiter y Minerva. Para ello, dispone de $1000 \text{ kg}$ de pintura de color verde, $800 \text{ kg}$ de color morado y $300 \text{ kg}$ de color naranja. Para elaborar un bote de color Júpiter se necesitan $10 \text{ kg}$ de pintura verde, $5 \text{ kg}$ de morada y $5 \text{ kg}$ de naranja. Para elaborar un bote de color Minerva se necesitan $5 \text{ kg}$ de pintura verde y $5 \text{ kg}$ de morada. Sabiendo que se obtiene un beneficio de $30 \text{ \,\text{euros}}$ por cada bote de pintura Júpiter y $20 \text{ \,\text{euros}}$ por un bote de pintura Minerva, ¿cuántos botes de cada tipo deberá fabricar la empresa para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál será el valor de ese beneficio?

Programación linealMaximizaciónSistemas de inecuaciones

Resolución mediante Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : número de botes de pintura tipo Júpiter. $y$ : número de botes de pintura tipo Minerva.A continuación, establecemos la función objetivo, que representa el beneficio total a maximizar:

f(x, y) = 30x + 20y

Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de cada tipo de pintura (verde, morada y naranja):

Pintura verde:

10x + 5y \le 1000 \implies 2x + y \le 200

Pintura morada:

5x + 5y \le 800 \implies x + y \le 160

Pintura naranja:

5x \le 300 \implies x \le 60

Restricciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para hallar la región factible, calculamos los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones y determinamos los vértices del polígono convexo resultante:Los vértices de la región factible son:

A(0, 0)

: Origen de coordenadas.

B(0, 160)

: Intersección de

x = 0

con

x + y = 160

.

C(40, 120)

: Intersección de

x + y = 160

con

2x + y = 200

.

D(60, 80)

: Intersección de

2x + y = 200

con

x = 60

.

E(60, 0)

: Intersección de

x = 60

con

y = 0

.

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 30x + 20y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo beneficio:

f(0, 0) = 30(0) + 20(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

f(0, 160) = 30(0) + 20(160) = 3200 \text{ \,\text{euros}}

f(40, 120) = 30(40) + 20(120) = 1200 + 2400 = 3600 \text{ \,\text{euros}}

f(60, 80) = 30(60) + 20(80) = 1800 + 1600 = 3400 \text{ \,\text{euros}}

f(60, 0) = 30(60) + 20(0) = 1800 \text{ \,\text{euros}}

El beneficio máximo se alcanza fabricando $40$ botes de pintura Júpiter y $120$ botes de pintura Minerva, obteniendo un beneficio total de $3600 \text{ \,\text{euros}}$ .

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

2

Una empresa de material informático dispone de dos cadenas de fabricación, $A$ y $B$ , en las que quiere aumentar su producción realizando horas extraordinarias. En una hora extraordinaria de trabajo, la cadena $A$ prepara 15 portátiles y 6 tablets, y la cadena $B$ prepara 10 portátiles y 10 tablets. Los costes de producción por hora extraordinaria de $A$ y $B$ son de $300$ € y $600$ € respectivamente por hora extraordinaria. La cadena $B$ puede realizar, como máximo, el triple de horas extraordinarias que la cadena $A$ . Si para la próxima semana se debe producir adicionalmente un máximo de 360 portátiles y al menos 216 tablets, formule y resuelva el problema que permita obtener la planificación de la empresa que minimice los costes de producción. ¿A cuánto ascienden dichos costes?

Programación linealMinimizaciónRestricciones

Definición de variables y función objetivo

Sean las variables de decisión:

x

: número de horas extraordinarias de la cadena

A

.

y

: número de horas extraordinarias de la cadena

B

.

El objetivo es minimizar los costes totales de producción. La función objetivo a minimizar es:

C(x, y) = 300x + 600y

Restricciones del problema

A partir de los datos del enunciado, establecemos el sistema de inecuaciones:

1) Relación entre cadenas: la cadena

B

realiza como máximo el triple que la

A

:

y \leq 3x

.2) Producción de portátiles: máximo 360 unidades:

15x + 10y \leq 360

.3) Producción de tablets: al menos 216 unidades:

6x + 10y \geq 216

.4) No negatividad:

x \geq 0, y \geq 0

.

Simplificando las expresiones dividiendo por los factores comunes correspondientes, el sistema queda:

\begin{cases} 3x - y \geq 0 \\ 3x + 2y \leq 72 \\ 3x + 5y \geq 108 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}

Cálculo de los vértices de la región factible

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan la región:

V_1

(Intersección de

y = 3x

y

3x + 5y = 108

):

3x + 5(3x) = 108 \implies 18x = 108 \implies x = 6, y = 18

. El punto es

V_1(6, 18)

.

V_2

(Intersección de

y = 3x

y

3x + 2y = 72

):

3x + 2(3x) = 72 \implies 9x = 72 \implies x = 8, y = 24

. El punto es

V_2(8, 24)

.

V_3

(Intersección de

3x + 2y = 72

y

3x + 5y = 108

): Restando las ecuaciones,

(3x + 5y) - (3x + 2y) = 108 - 72 \implies 3y = 36 \implies y = 12

. Sustituyendo,

3x + 2(12) = 72 \implies 3x = 48 \implies x = 16

. El punto es

V_3(16, 12)

.

Optimización de la función objetivo

Evaluamos la función de coste $C(x, y) = 300x + 600y$ en cada uno de los vértices hallados:

C(6, 18) = 300(6) + 600(18) = 1800 + 10800 = 12600

€.

C(8, 24) = 300(8) + 600(24) = 2400 + 14400 = 16800

€.

C(16, 12) = 300(16) + 600(12) = 4800 + 7200 = 12000

€.

Conclusión

Para minimizar los costes de producción, la empresa debe planificar 16 horas extraordinarias para la cadena $A$ y 12 horas extraordinarias para la cadena $B$ . Los costes mínimos de dicha planificación ascienden a 12000 €.

T3: Programación lineal

Optimización

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

1

El aforo de un campo de fútbol es de 10000 personas. Según el reglamento establecido por la federación de fútbol, como máximo deben ponerse a la venta 3000 entradas para los aficionados del equipo visitante y por cada aficionado visitante debe haber dos aficionados locales como mínimo y cuatro aficionados locales como máximo.Si el precio de la entrada es de $50$ € pero el aficionado local tiene un descuento del $20$ %, ¿cuántos aficionados locales y visitantes deben asistir para obtener el mayor importe con la venta de las entradas?

Programación linealOptimizaciónRegión factible

Planteamiento del problema de programación lineal

Definimos las variables de decisión para el problema:

x

: número de aficionados locales.

y

: número de aficionados visitantes.

A continuación, establecemos las restricciones basadas en el enunciado:

Capacidad máxima del estadio:

x + y \leq 10000

Límite de entradas visitantes:

y \leq 3000

Relación mínima locales/visitantes (

2:1

):

x \geq 2y \implies x - 2y \geq 0

Relación máxima locales/visitantes (

4:1

):

x \leq 4y \implies x - 4y \leq 0

Condiciones de no negatividad:

x \geq 0, y \geq 0

La función objetivo representa el importe total de la venta. El precio para visitantes es de $50$ €, y para locales se aplica un descuento del $20\%$ , resultando en $50 \cdot 0,80 = 40$ €.

f(x, y) = 40x + 50y

Determinación de la región factible y vértices

Calculamos los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región factible:

V_1

(Origen): Intersección de

x - 2y = 0

y

x - 4y = 0 \implies (0, 0)

V_2

: Intersección de

x + y = 10000

y

x = 4y \implies 4y + y = 10000 \implies 5y = 10000 \implies y = 2000, x = 8000

. Punto

(8000, 2000)

V_3

: Intersección de

x + y = 10000

y

y = 3000 \implies x + 3000 = 10000 \implies x = 7000

. Punto

(7000, 3000)

V_4

: Intersección de

y = 3000

y

x = 2y \implies x = 2(3000) = 6000

. Punto

(6000, 3000)

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $f(x, y) = 40x + 50y$ en cada uno de los vértices hallados:

f(0, 0) = 40(0) + 50(0) = 0

€

f(8000, 2000) = 40(8000) + 50(2000) = 320000 + 100000 = 420000

€

f(7000, 3000) = 40(7000) + 50(3000) = 280000 + 150000 = 430000

€

f(6000, 3000) = 40(6000) + 50(3000) = 240000 + 150000 = 390000

€

Para obtener el mayor importe con la venta de las entradas, deben asistir $7000$ aficionados locales y $3000$ aficionados visitantes, obteniéndose un ingreso máximo de $430000$ €.

T3: Programación lineal

Optimización lineal

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

1

BLOQUE A - EJERCICIO 1

Sean la función $F(x,y) = 5x - 3y$ y la región del plano $R$ definida mediante las inecuaciones:

2x - 3y \le 1; \quad 4x + y \le 9; \quad x + y \le 5; \quad 9x - y \ge 0; \quad y \ge 0

a) Dibuje la región

R

y calcule sus vértices.b) Indique razonadamente si los puntos

A(2,2)

y

B(1, 3.5)

pertenecen a la región

R

.c) Obtenga los puntos de la región

R

donde

F

alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores.

Programación LinealOptimizaciónRegión Factible

Resolución de problema de Programación Lineal

a) Dibuje la región

R

y calcule sus vértices.

Para delimitar la región factible $R$ , primero representamos las rectas asociadas a las inecuaciones del sistema. La región $R$ es el polígono convexo formado por la intersección de los semiplanos definidos por dichas inecuaciones.Calculamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan:Vértice $V_1$ : Intersección de $9x - y = 0$ y $y = 0$ . Sustituyendo, obtenemos el punto $(0, 0)$ .Vértice $V_2$ : Intersección de $2x - 3y = 1$ y $y = 0$ . De $2x = 1$ obtenemos el punto $(0.5, 0)$ .Vértice $V_3$ : Intersección de $2x - 3y = 1$ y $4x + y = 9$ . Multiplicando la segunda por $3$ y sumando: $14x = 28 \implies x = 2$ . Sustituyendo en la segunda, $y = 1$ . Obtenemos el punto $(2, 1)$ .Vértice $V_4$ : Intersección de $4x + y = 9$ y $x + y = 5$ . Restando las ecuaciones: $3x = 4 \implies x = 4/3$ . Sustituyendo, $y = 5 - 4/3 = 11/3$ . Obtenemos el punto $(4/3, 11/3) \approx (1.33, 3.67)$ .Vértice $V_5$ : Intersección de $x + y = 5$ y $9x - y = 0$ . Sustituyendo $y = 9x$ en la primera: $10x = 5 \implies x = 0.5$ . Luego $y = 4.5$ . Obtenemos el punto $(0.5, 4.5)$ .

b) Indique razonadamente si los puntos

A(2,2)

y

B(1, 3.5)

pertenecen a la región

R

.

Para el punto $A(2, 2)$ , comprobamos la segunda inecuación: $4(2) + 2 = 10$ . Como $10 > 9$ , el punto no cumple la restricción $4x + y \le 9$ . Por tanto, $A \notin R$ .Para el punto $B(1, 3.5)$ , comprobamos todas las inecuaciones: $2(1) - 3(3.5) = -8.5 \le 1$ (Sí) $4(1) + 3.5 = 7.5 \le 9$ (Sí) $1 + 3.5 = 4.5 \le 5$ (Sí) $9(1) - 3.5 = 5.5 \ge 0$ (Sí) $3.5 \ge 0$ (Sí) Como cumple todas las restricciones, $B \in R$ .

c) Obtenga los puntos de la región

R

donde

F

alcanza el máximo y el mínimo y calcule sus correspondientes valores.

Evaluamos la función objetivo $F(x,y) = 5x - 3y$ en cada uno de los vértices hallados en el apartado (a): $F(0, 0) = 5(0) - 3(0) = 0$ $F(0.5, 0) = 5(0.5) - 3(0) = 2.5$ $F(2, 1) = 5(2) - 3(1) = 7$ $F(4/3, 11/3) = 5(4/3) - 3(11/3) = 20/3 - 33/3 = -13/3 \approx -4.33$ $F(0.5, 4.5) = 5(0.5) - 3(4.5) = 2.5 - 13.5 = -11$

Comparando los valores obtenidos, concluimos que el valor máximo de la función es $7$ y se alcanza en el punto $(2, 1)$ , mientras que el valor mínimo es $-11$ y se alcanza en el punto $(0.5, 4.5)$ .

T3: Programación lineal

Optimización con restricciones

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

2

Una sastrería dispone de $70 \text{ m}^2$ de tela de lino y de $150 \text{ m}^2$ de tela de algodón. En la confección de un traje se emplea $1 \text{ m}^2$ de tela de lino y $3 \text{ m}^2$ de tela de algodón, y en un vestido se necesitan $2 \text{ m}^2$ de tela de cada tipo. Se obtienen 60 euros de beneficio por cada traje y 70 euros por cada vestido. Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.

Programación linealMaximización de beneficios

Elección de variables y función objetivo

Sean las variables que representan la cantidad de productos a confeccionar:

x

: Número de trajes confeccionados.

y

: Número de vestidos confeccionados.

La función objetivo que representa el beneficio total a maximizar es:

f(x, y) = 60x + 70y

Restricciones del problema

A partir de la disponibilidad de materiales y las condiciones de confección, establecemos el siguiente sistema de inecuaciones:

Disponibilidad de lino:

x + 2y \le 70

Disponibilidad de algodón:

3x + 2y \le 150

Restricciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Cálculo de los vértices de la región factible

La región factible es el recinto convexo delimitado por las restricciones anteriores. Calculamos los puntos de corte de las rectas para hallar los vértices:

Vértice A: Origen de coordenadas

(0, 0)

.Vértice B: Corte de

3x + 2y = 150

con el eje OX (

y=0

). Si

3x = 150 \Rightarrow x = 50

. Punto

(50, 0)

.Vértice C: Intersección de las dos rectas de materiales. Resolviendo el sistema:

\begin{cases} 3x + 2y = 150 \\ x + 2y = 70 \end{cases}

Restando las ecuaciones:

2x = 80 \Rightarrow x = 40

. Sustituyendo en la segunda:

40 + 2y = 70 \Rightarrow 2y = 30 \Rightarrow y = 15

. Punto

(40, 15)

.Vértice D: Corte de

x + 2y = 70

con el eje OY (

x=0

). Si

2y = 70 \Rightarrow y = 35

. Punto

(0, 35)

.

Evaluación del beneficio en los vértices

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 60x + 70y$ en cada uno de los vértices hallados:

f(0, 0) = 60(0) + 70(0) = 0 \text{ euros}

f(50, 0) = 60(50) + 70(0) = 3000 \text{ euros}

f(40, 15) = 60(40) + 70(15) = 2400 + 1050 = 3450 \text{ euros}

f(0, 35) = 60(0) + 70(35) = 2450 \text{ euros}

Conclusión

Para obtener el máximo beneficio, la sastrería debe confeccionar 40 trajes y 15 vestidos, obteniendo así un beneficio total de 3450 euros.

T3: Programación lineal

Optimización lineal

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

1

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

x + 2y \geq 7 ; 2x - y \leq 4 ; 4x - y \geq 1 ; 3x + 2y \leq 20

a) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.b) Obtenga el valor máximo de la función

F(x, y) = x + 3y

en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.

Región factibleVérticesMáximo

a) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.

En primer lugar, transformamos las inecuaciones en igualdades para representar las rectas que delimitan la región factible:

L_1: x + 2y = 7 \quad L_2: 2x - y = 4 \quad L_3: 4x - y = 1 \quad L_4: 3x + 2y = 20

Calculamos los vértices del recinto hallando los puntos de intersección de las rectas que lo definen:Vértice $A$ (intersección de $L_1$ y $L_3$ ):

\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \implies x + 2(4x - 1) = 7 \implies 9x = 9 \implies x = 1, y = 3 \implies A(1, 3)

Vértice $B$ (intersección de $L_3$ y $L_4$ ):

\begin{cases} 4x - y = 1 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \implies 3x + 2(4x - 1) = 20 \implies 11x = 22 \implies x = 2, y = 7 \implies B(2, 7)

Vértice $C$ (intersección de $L_4$ y $L_2$ ):

\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \implies 3x + 2(2x - 4) = 20 \implies 7x = 28 \implies x = 4, y = 4 \implies C(4, 4)

Vértice $D$ (intersección de $L_2$ y $L_1$ ):

\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \implies x + 2(2x - 4) = 7 \implies 5x = 15 \implies x = 3, y = 2 \implies D(3, 2)

b) Obtenga el valor máximo de la función

F(x, y) = x + 3y

en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x + 3y$ en cada uno de los vértices hallados: $F(A) = F(1, 3) = 1 + 3(3) = 10$ $F(B) = F(2, 7) = 2 + 3(7) = 23$ $F(C) = F(4, 4) = 4 + 3(4) = 16$ $F(D) = F(3, 2) = 3 + 3(2) = 9$

El valor máximo de la función es 23 y se alcanza en el vértice $B(2, 7)$ .

T3: Programación lineal

Región factible y optimización

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

2

EJERCICIO 2

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

y - 2x \le 7; \quad -x + 3y \le 21; \quad x + 2y \le 19; \quad x + y \le 14

a) Represente dicho recinto y determine sus vértices.b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función

F(x, y) = x + 4y

en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.c) ¿Podría tomar la función objetivo

F

el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.

Programación linealRegión factibleOptimización

Resolución de Problema de Programación Lineal

a) Represente dicho recinto y determine sus vértices.

Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan la región. Aunque no se especifiquen explícitamente, en este tipo de problemas se asume que el recinto se encuentra en el primer cuadrante ( $x \ge 0, y \ge 0$ ) para ser una región acotada.Las rectas que delimitan el recinto son: $r_1: y - 2x = 7 \implies y = 2x + 7$ $r_2: -x + 3y = 21 \implies y = \frac{1}{3}x + 7$ $r_3: x + 2y = 19 \implies y = -\frac{1}{2}x + 9.5$ $r_4: x + y = 14 \implies y = -x + 14$ Calculamos los puntos de intersección que forman los vértices de la región factible comprobando que cumplen todas las restricciones:

- Vértice

A

: Intersección de

r_2

con el eje

Y

(

x=0

). Como

r_1

también pasa por

(0,7)

y es menos restrictiva para

x > 0

, el punto es

A(0, 7)

.- Vértice

B

: Intersección de

r_2

y

r_3

. Resolvemos el sistema

\begin{cases} -x + 3y = 21 \\ x + 2y = 19 \end{cases}

. Sumando ambas:

5y = 40 \implies y = 8

. Sustituyendo:

x + 16 = 19 \implies x = 3

. Obtenemos

B(3, 8)

.- Vértice

C

: Intersección de

r_3

y

r_4

. Resolvemos

\begin{cases} x + 2y = 19 \\ x + y = 14 \end{cases}

. Restando ambas:

y = 5

. Sustituyendo:

x + 5 = 14 \implies x = 9

. Obtenemos

C(9, 5)

.- Vértice

D

: Intersección de

r_4

con el eje

X

(

y=0

).

x + 0 = 14 \implies x = 14

. Obtenemos

D(14, 0)

.- Vértice

O

: Origen de coordenadas

O(0, 0)

.

b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función

F(x, y) = x + 4y

en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x + 4y$ en cada uno de los vértices hallados:

-

F(0, 0) = 0 + 4(0) = 0

-

F(14, 0) = 14 + 4(0) = 14

-

F(9, 5) = 9 + 4(5) = 9 + 20 = 29

-

F(3, 8) = 3 + 4(8) = 3 + 32 = 35

-

F(0, 7) = 0 + 4(7) = 28

El valor máximo es 35 y se alcanza en el punto $B(3, 8)$ . El valor mínimo es 0 y se alcanza en el punto $O(0, 0)$ .

c) ¿Podría tomar la función objetivo

F

el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.

Dado que la función objetivo es continua y el recinto es un conjunto convexo y acotado, la función toma todos los valores comprendidos entre su mínimo (0) y su máximo (35).

- ¿Valor 40? No, porque el valor máximo que alcanza la función en la región factible es 35, y

40 > 35

.- ¿Valor 20? Sí, porque

20

se encuentra dentro del intervalo de valores alcanzables por la función

[0, 35]

. Por ejemplo, en el punto

(0, 5)

, que pertenece al recinto, la función vale

0 + 4(5) = 20

.

T3: Programación lineal

Problemas de optimización

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

2

Una papelería quiere vender 400 cuadernos de vacaciones y 300 estuches de lápices de colores. Para ello ha preparado dos lotes de esos productos a precios especiales. Los lotes de tipo A contienen 2 cuadernos y 2 estuches; los lotes de tipo B contienen 3 cuadernos y 1 estuche. No es posible vender más de 100 lotes de tipo B. Cada lote de tipo A se vende a 35€ y cada lote de tipo B a 45€. Calcule cuántos lotes de cada tipo debe vender la papelería para conseguir el máximo valor de ventas. ¿A cuánto asciende dicho valor?

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

Resolución del Problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : Número de lotes de tipo A vendidos. $y$ : Número de lotes de tipo B vendidos.

a) Función objetivo y restricciones

El objetivo es maximizar el valor total de las ventas $V(x, y)$ :

V(x, y) = 35x + 45y

Sujeto a las siguientes restricciones basadas en las existencias y las condiciones del mercado:Restricción de cuadernos: $2x + 3y \leq 400$ Restricción de estuches: $2x + y \leq 300$ Restricción de lotes tipo B: $y \leq 100$ Condiciones de no negatividad: $x \geq 0, y \geq 0$

b) Determinación de la región factible y vértices

La región factible está delimitada por los puntos de intersección de las rectas asociadas a las restricciones. Calculamos los vértices del polígono resultante: $V_1(0, 0)$ : Origen de coordenadas. $V_2(0, 100)$ : Intersección de $x=0$ con $y=100$ . $V_3(50, 100)$ : Intersección de $y=100$ con $2x+3y=400$ ( $2x + 300 = 400 \Rightarrow 2x = 100 \Rightarrow x = 50$ ). $V_4(125, 50)$ : Intersección de $2x+3y=400$ con $2x+y=300$ . Restando ambas: $2y = 100 \Rightarrow y = 50$ ; sustituyendo: $2x + 50 = 300 \Rightarrow x = 125$ . $V_5(150, 0)$ : Intersección de $2x+y=300$ con $y=0$ ( $2x = 300 \Rightarrow x = 150$ ).

c) Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $V(x, y) = 35x + 45y$ en cada vértice para encontrar el máximo valor: $V(0, 0) = 35(0) + 45(0) = 0\text{ \,\text{euros}}$ $V(0, 100) = 35(0) + 45(100) = 4500\text{ \,\text{euros}}$ $V(50, 100) = 35(50) + 45(100) = 1750 + 4500 = 6250\text{ \,\text{euros}}$ $V(125, 50) = 35(125) + 45(50) = 4375 + 2250 = 6625\text{ \,\text{euros}}$ $V(150, 0) = 35(150) + 45(0) = 5250\text{ \,\text{euros}}$

Para conseguir el máximo valor de ventas, la papelería debe vender 125 lotes de tipo A y 50 lotes de tipo B. El valor máximo de ventas asciende a 6625€.