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T3: Programación lineal
Región factible y optimización
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
2
Examen
EJERCICIO 2

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

y−2x≤7;−x+3y≤21;x+2y≤19;x+y≤14y - 2x \le 7; \quad -x + 3y \le 21; \quad x + 2y \le 19; \quad x + y \le 14
a) Represente dicho recinto y determine sus vértices.b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+4yF(x, y) = x + 4y en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.c) ¿Podría tomar la función objetivo FF el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.
Programación linealRegión factibleOptimización
Resolución de Problema de Programación Lineal
a) Represente dicho recinto y determine sus vértices.

Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan la región. Aunque no se especifiquen explícitamente, en este tipo de problemas se asume que el recinto se encuentra en el primer cuadrante (x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0) para ser una región acotada.Las rectas que delimitan el recinto son:r1:y−2x=7  ⟹  y=2x+7r_1: y - 2x = 7 \implies y = 2x + 7 r2:−x+3y=21  ⟹  y=13x+7r_2: -x + 3y = 21 \implies y = \frac{1}{3}x + 7 r3:x+2y=19  ⟹  y=−12x+9.5r_3: x + 2y = 19 \implies y = -\frac{1}{2}x + 9.5 r4:x+y=14  ⟹  y=−x+14r_4: x + y = 14 \implies y = -x + 14 Calculamos los puntos de intersección que forman los vértices de la región factible comprobando que cumplen todas las restricciones:

- Vértice AA: Intersección de r2r_2 con el eje YY (x=0x=0). Como r1r_1 también pasa por (0,7)(0,7) y es menos restrictiva para x>0x > 0, el punto es A(0,7)A(0, 7).- Vértice BB: Intersección de r2r_2 y r3r_3. Resolvemos el sistema {−x+3y=21x+2y=19\begin{cases} -x + 3y = 21 \\ x + 2y = 19 \end{cases}. Sumando ambas: 5y=40  ⟹  y=85y = 40 \implies y = 8. Sustituyendo: x+16=19  ⟹  x=3x + 16 = 19 \implies x = 3. Obtenemos B(3,8)B(3, 8).- Vértice CC: Intersección de r3r_3 y r4r_4. Resolvemos {x+2y=19x+y=14\begin{cases} x + 2y = 19 \\ x + y = 14 \end{cases}. Restando ambas: y=5y = 5. Sustituyendo: x+5=14  ⟹  x=9x + 5 = 14 \implies x = 9. Obtenemos C(9,5)C(9, 5).- Vértice DD: Intersección de r4r_4 con el eje XX (y=0y=0). x+0=14  ⟹  x=14x + 0 = 14 \implies x = 14. Obtenemos D(14,0)D(14, 0).- Vértice OO: Origen de coordenadas O(0,0)O(0, 0).
y-2x≤7-x+3y≤21x+2y≤19x+y≤14(0,0)(14,0)(9,5)(3,8)(0,7)Máx: z = 35051015246810xyF(x,y) = x + 4y
b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+4yF(x, y) = x + 4y en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan.

Evaluamos la función objetivo F(x,y)=x+4yF(x, y) = x + 4y en cada uno de los vértices hallados:

- F(0,0)=0+4(0)=0F(0, 0) = 0 + 4(0) = 0- F(14,0)=14+4(0)=14F(14, 0) = 14 + 4(0) = 14- F(9,5)=9+4(5)=9+20=29F(9, 5) = 9 + 4(5) = 9 + 20 = 29- F(3,8)=3+4(8)=3+32=35F(3, 8) = 3 + 4(8) = 3 + 32 = 35- F(0,7)=0+4(7)=28F(0, 7) = 0 + 4(7) = 28

El valor máximo es 35 y se alcanza en el punto B(3,8)B(3, 8). El valor mínimo es 0 y se alcanza en el punto O(0,0)O(0, 0).

c) ¿Podría tomar la función objetivo FF el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas.

Dado que la función objetivo es continua y el recinto es un conjunto convexo y acotado, la función toma todos los valores comprendidos entre su mínimo (0) y su máximo (35).

- ¿Valor 40? No, porque el valor máximo que alcanza la función en la región factible es 35, y 40>3540 > 35.- ¿Valor 20? Sí, porque 2020 se encuentra dentro del intervalo de valores alcanzables por la función [0,35][0, 35]. Por ejemplo, en el punto (0,5)(0, 5), que pertenece al recinto, la función vale 0+4(5)=200 + 4(5) = 20.