T3: Programación lineal · Problemas de optimización con programación lineal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Problemas de optimización con programación lineal

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Una empresa de catering dispone semanalmente de 58 horas de cocina, 50 horas de empaquetado y $60 \text{ dm}^3$ de almacenamiento en cámaras frigoríficas para elaborar dos tipos de menús: premium y estándar. Ambos menús requieren tiempo, tanto de preparación como de empaquetado, y espacio de almacenamiento en frigoríficos. Concretamente, el menú premium requiere de 2 horas de cocina, 2 horas de empaquetado y ocupa $1 \text{ dm}^3$ en frigoríficos. Por su parte, el menú estándar requiere de 3 horas de cocina, 1 hora de empaquetado y ocupa $4 \text{ dm}^3$ en frigoríficos. El beneficio obtenido por cada menú premium es de $10.50 \text{ \,\text{euros}}$ y por cada menú estándar es de $5.50 \text{ \,\text{euros}}$ . La empresa sabe que venderá todos los menús producidos. Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio.

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios

Definición de variables

Sean las variables que representan el número de menús elaborados semanalmente: $x$ : número de menús premium. $y$ : número de menús estándar.

Función objetivo y restricciones

Se desea maximizar el beneficio total $B(x, y)$ , sujeto a las limitaciones de tiempo de cocina, empaquetado y capacidad de almacenamiento:

\text{Maximizar } B(x, y) = 10.5x + 5.5y

Sujeto a las siguientes restricciones:

\begin{cases} 2x + 3y \le 58 & (\text{Cocina}) \\ 2x + y \le 50 & (\text{Empaquetado}) \\ x + 4y \le 60 & (\text{Almacenamiento}) \\ x \ge 0, \, y \ge 0 & \end{cases}

Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de corte de las rectas para hallar los vértices del polígono de soluciones factibles:

1) Intersección con los ejes:

(0,0)

(25, 0)

(de

2x+y=50

) y

(0, 15)

(de

x+4y=60

).2) Intersección de

2x + 3y = 58

x + 4y = 60

: Resolviendo el sistema obtenemos

x = 10.4, y = 12.4

.3) Intersección de

2x + 3y = 58

2x + y = 50

: Restando ambas ecuaciones,

2y = 8 \Rightarrow y = 4

. Sustituyendo,

2x + 4 = 50 \Rightarrow 2x = 46 \Rightarrow x = 23

. El vértice es

(23, 4)

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $B(x, y) = 10.5x + 5.5y$ en cada uno de los vértices de la región factible:

B(0, 0) = 10.5(0) + 5.5(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

B(0, 15) = 10.5(0) + 5.5(15) = 82.5 \text{ \,\text{euros}}

B(10.4, 12.4) = 10.5(10.4) + 5.5(12.4) = 109.2 + 68.2 = 177.4 \text{ \,\text{euros}}

B(23, 4) = 10.5(23) + 5.5(4) = 241.5 + 22 = 263.5 \text{ \,\text{euros}}

B(25, 0) = 10.5(25) + 5.5(0) = 262.5 \text{ \,\text{euros}}

Solución final

El beneficio máximo se alcanza elaborando 23 menús premium y 4 menús estándar. El beneficio total semanal asciende a $263.50 \text{ \,\text{euros}}$ .