T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Optimización

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

EJERCICIO 2

Un centro de bricolaje, que almacena bidones de pintura de interior y de exterior, cuenta con una capacidad máxima de almacenaje de $160$ bidones. Por una cuestión logística, en el almacén deben mantenerse al menos $60$ bidones, siendo como mínimo $20$ bidones de pintura interior. Además, el número de bidones de pintura exterior almacenados no podrá ser inferior al de pintura interior. Se sabe que el gasto diario por almacenar cada bidón de pintura interior es de $1.50\,\text{euros}$ y por cada bidón de pintura exterior es de $0.90\,\text{euros}$ . Calcule cuántos bidones de cada tipo se deben almacenar para que el gasto diario sea mínimo e indique cuánto supone ese gasto mínimo.

Programación linealOptimizaciónInecuaciones

Resolución del ejercicio de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : Número de bidones de pintura de interior. $y$ : Número de bidones de pintura de exterior.A continuación, establecemos la función objetivo, que representa el gasto diario total que deseamos minimizar:

f(x, y) = 1.50x + 0.90y

Las restricciones del problema, basadas en el enunciado, son las siguientes:

1) Capacidad máxima de almacenaje:

x + y \leq 160

2) Capacidad mínima de almacenaje:

x + y \geq 60

3) Mínimo de bidones de pintura interior:

x \geq 20

4) El número de bidones de pintura exterior no es inferior al de interior:

y \geq x \Rightarrow x - y \leq 0

5) No negatividad:

x \geq 0, y \geq 0

(implícitas en las anteriores)

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono formado por la intersección de las rectas asociadas a las restricciones:

Vértice

A

: Intersección de

x = 20

x + y = 60 \Rightarrow (20) + y = 60 \Rightarrow y = 40

. Punto

A(20, 40)

.Vértice

B

: Intersección de

x = 20

x + y = 160 \Rightarrow (20) + y = 160 \Rightarrow y = 140

. Punto

B(20, 140)

.Vértice

C

: Intersección de

x + y = 160

y = x \Rightarrow x + x = 160 \Rightarrow 2x = 160 \Rightarrow x = 80, y = 80

. Punto

C(80, 80)

.Vértice

D

: Intersección de

x + y = 60

y = x \Rightarrow x + x = 60 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30, y = 30

. Punto

D(30, 30)

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 1.50x + 0.90y$ en cada uno de los vértices para hallar el valor mínimo:

f(20, 40) = 1.50 \cdot 20 + 0.90 \cdot 40 = 30 + 36 = 66 \,\text{euros}

f(20, 140) = 1.50 \cdot 20 + 0.90 \cdot 140 = 30 + 126 = 156 \,\text{euros}

f(80, 80) = 1.50 \cdot 80 + 0.90 \cdot 80 = 120 + 72 = 192 \,\text{euros}

f(30, 30) = 1.50 \cdot 30 + 0.90 \cdot 30 = 45 + 27 = 72 \,\text{euros}

Al comparar los resultados, observamos que el gasto mínimo diario se alcanza en el vértice $A(20, 40)$ .Por lo tanto, para minimizar el gasto diario, se deben almacenar $20$ bidones de pintura de interior y $40$ bidones de pintura de exterior. El gasto mínimo asciende a $66 \,\text{euros}$ diarios.