T3: Programación lineal · Optimización con restricciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Optimización con restricciones

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de $30000 \text{ m}^3$ de agua, de $5500 \text{ kg}$ de abono y de $3000 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita $1500 \text{ m}^3$ de agua, $110 \text{ kg}$ de abono y $80 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de $100 \text{ kg}$ de abono y $50 \text{ kg}$ de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de $5000 \text{ kg}$ en secano y de $10000 \text{ kg}$ en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción máxima esperada.

Programación linealOptimizaciónMaximización

Resolución del Problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema:

x

: número de hectáreas de olivar de regadío a cultivar.

y

: número de hectáreas de olivar de secano a cultivar.

La función objetivo a maximizar es la producción total anual $P(x, y)$ en kilogramos:

P(x, y) = 10000x + 5000y

Las restricciones del problema, basadas en la disponibilidad de recursos y los requisitos mínimos, son:

Mínimo de secano:

y \ge 20

Agua:

1500x \le 30000 \implies x \le 20

Abono:

110x + 100y \le 5500 \implies 11x + 10y \le 550

Productos fitosanitarios:

80x + 50y \le 3000 \implies 8x + 5y \le 300

No negatividad:

x \ge 0

(la condición

y \ge 20

ya implica

y > 0

)

Para determinar la región factible, calculamos los vértices del polígono formado por las intersecciones de las rectas de restricción:

V_1

: Intersección de

x = 0

y = 20 \to (0, 20)

V_2

: Intersección de

x = 0

11x + 10y = 550 \to (0, 55)

V_3

: Intersección de

11x + 10y = 550

8x + 5y = 300

. Multiplicando la segunda por

-2

11x + 10y = 550

-16x - 10y = -600

. Sumando obtenemos

-5x = -50 \implies x = 10

. Sustituyendo:

8(10) + 5y = 300 \implies y = 44 \to (10, 44)

V_4

: Intersección de

x = 20

8x + 5y = 300

. Sustituyendo:

8(20) + 5y = 300 \implies 160 + 5y = 300 \implies 5y = 140 \implies y = 28 \to (20, 28)

V_5

: Intersección de

x = 20

y = 20 \to (20, 20)

Evaluamos la función objetivo $P(x, y)$ en cada uno de los vértices hallados:

P(0, 20) = 10000(0) + 5000(20) = 100000 \text{ kg}

P(0, 55) = 10000(0) + 5000(55) = 275000 \text{ kg}

P(10, 44) = 10000(10) + 5000(44) = 100000 + 220000 = 320000 \text{ kg}

P(20, 28) = 10000(20) + 5000(28) = 200000 + 140000 = 340000 \text{ kg}

P(20, 20) = 10000(20) + 5000(20) = 200000 + 100000 = 300000 \text{ kg}

El valor máximo se alcanza con 20 hectáreas de regadío y 28 hectáreas de secano. La producción máxima esperada es de $340000 \text{ kg}$ .