T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Optimización

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Una empresa de pinturas quiere elaborar botes de pintura de dos colores nuevos: Júpiter y Minerva. Para ello, dispone de $1000 \text{ kg}$ de pintura de color verde, $800 \text{ kg}$ de color morado y $300 \text{ kg}$ de color naranja. Para elaborar un bote de color Júpiter se necesitan $10 \text{ kg}$ de pintura verde, $5 \text{ kg}$ de morada y $5 \text{ kg}$ de naranja. Para elaborar un bote de color Minerva se necesitan $5 \text{ kg}$ de pintura verde y $5 \text{ kg}$ de morada. Sabiendo que se obtiene un beneficio de $30 \text{ \,\text{euros}}$ por cada bote de pintura Júpiter y $20 \text{ \,\text{euros}}$ por un bote de pintura Minerva, ¿cuántos botes de cada tipo deberá fabricar la empresa para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál será el valor de ese beneficio?

Programación linealMaximizaciónSistemas de inecuaciones

Resolución mediante Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: $x$ : número de botes de pintura tipo Júpiter. $y$ : número de botes de pintura tipo Minerva.A continuación, establecemos la función objetivo, que representa el beneficio total a maximizar:

f(x, y) = 30x + 20y

Las restricciones del problema vienen dadas por la disponibilidad de cada tipo de pintura (verde, morada y naranja):

Pintura verde:

10x + 5y \le 1000 \implies 2x + y \le 200

Pintura morada:

5x + 5y \le 800 \implies x + y \le 160

Pintura naranja:

5x \le 300 \implies x \le 60

Restricciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Para hallar la región factible, calculamos los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones y determinamos los vértices del polígono convexo resultante:Los vértices de la región factible son:

A(0, 0)

: Origen de coordenadas.

B(0, 160)

: Intersección de

x = 0

con

x + y = 160

C(40, 120)

: Intersección de

x + y = 160

con

2x + y = 200

D(60, 80)

: Intersección de

2x + y = 200

con

x = 60

E(60, 0)

: Intersección de

x = 60

con

y = 0

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 30x + 20y$ en cada uno de los vértices para encontrar el máximo beneficio:

f(0, 0) = 30(0) + 20(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

f(0, 160) = 30(0) + 20(160) = 3200 \text{ \,\text{euros}}

f(40, 120) = 30(40) + 20(120) = 1200 + 2400 = 3600 \text{ \,\text{euros}}

f(60, 80) = 30(60) + 20(80) = 1800 + 1600 = 3400 \text{ \,\text{euros}}

f(60, 0) = 30(60) + 20(0) = 1800 \text{ \,\text{euros}}

El beneficio máximo se alcanza fabricando $40$ botes de pintura Júpiter y $120$ botes de pintura Minerva, obteniendo un beneficio total de $3600 \text{ \,\text{euros}}$ .