T3: Programación lineal · Optimización — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Optimización

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Una empresa tiene un presupuesto de 78000 € para promocionar un producto y quiere contratar la emisión de anuncios por radio y televisión. El coste de emisión de un anuncio de radio es de 2400 € y de un anuncio de televisión de 3600 €. La empresa quiere que la diferencia entre el número de anuncios emitidos de cada tipo no sea mayor que 10 y que se emitan un mínimo de 10 anuncios en total. Si la emisión de un anuncio de radio llega a 34000 personas y de un anuncio de televisión a 72000 personas, ¿cuántas emisiones de cada tipo debe contratar para que la audiencia sea la mayor posible? ¿A cuánto ascendería dicha audiencia?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Planteamiento del problema de Programación Lineal

Definimos las variables del problema basándonos en el número de anuncios a contratar: $x$ : número de anuncios de radio. $y$ : número de anuncios de televisión.

La función objetivo, que representa la audiencia total que se desea maximizar, es:

f(x, y) = 34000x + 72000y

Las restricciones del problema se derivan de las condiciones dadas:

1. Presupuesto disponible: $2400x + 3600y \leq 78000$ . Simplificando entre 1200 obtenemos $2x + 3y \leq 65$ .2. Diferencia entre anuncios no mayor que 10: $|x - y| \leq 10$ , lo que genera dos inecuaciones: $x - y \leq 10$ y $y - x \leq 10$ .3. Mínimo de 10 anuncios en total: $x + y \geq 10$ .4. No negatividad: $x \geq 0, y \geq 0$ .

Determinación de la región factible y vértices

Representamos las rectas asociadas a las restricciones para hallar los vértices de la región factible:Vértice $A$ : Intersección de $x + y = 10$ y $y - x = 10$ .

\begin{cases} x + y = 10 \\ -x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10, x = 0 \Rightarrow A(0, 10)

Vértice $B$ : Intersección de $y - x = 10$ y $2x + 3y = 65$ .

\begin{cases} -x + y = 10 \\ 2x + 3y = 65 \end{cases} \Rightarrow 2(y - 10) + 3y = 65 \Rightarrow 5y = 85 \Rightarrow y = 17, x = 7 \Rightarrow B(7, 17)

Vértice $C$ : Intersección de $2x + 3y = 65$ y $x - y = 10$ .

\begin{cases} 2x + 3y = 65 \\ x - y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2(y + 10) + 3y = 65 \Rightarrow 5y = 45 \Rightarrow y = 9, x = 19 \Rightarrow C(19, 9)

Vértice $D$ : Intersección de $x - y = 10$ y $x + y = 10$ .

\begin{cases} x - y = 10 \\ x + y = 10 \end{cases} \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10, y = 0 \Rightarrow D(10, 0)

Evaluación de la función objetivo

Calculamos el valor de la audiencia $f(x, y) = 34000x + 72000y$ en cada uno de los vértices hallados: $f(0, 10) = 34000(0) + 72000(10) = 720000$ personas. $f(7, 17) = 34000(7) + 72000(17) = 238000 + 1224000 = 1462000$ personas. $f(19, 9) = 34000(19) + 72000(9) = 646000 + 648000 = 1294000$ personas. $f(10, 0) = 34000(10) + 72000(0) = 340000$ personas.

Conclusión

Para maximizar la audiencia, la empresa debe contratar 7 emisiones de radio y 17 emisiones de televisión. La audiencia máxima alcanzada será de 1,462,000 personas.