T3: Programación lineal · Optimización con restricciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Optimización con restricciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 2

Un fabricante produce mensualmente dos tipos de abonos ecológicos, $A$ y $B$ , que vende en su totalidad, obteniendo unos beneficios de 15 y 10 euros por kilogramo ( $kg$ ), respectivamente. La producción de abono del tipo $A$ no puede superar los $200 \text{ kg}$ ; el doble de la producción de $B$ menos el triple de la producción de $A$ es a lo sumo $100 \text{ kg}$ . Además, la producción de $A$ más el doble de la producción de $B$ es como mucho de $500 \text{ kg}$ . Obtenga las cantidades que este fabricante debe producir de sendos abonos para obtener el máximo beneficio e indique el valor de este beneficio.

Programación linealMaximización de beneficiosInecuaciones

Planteamiento del problema

Sean las variables de decisión:

x

: Kilogramos de abono tipo

A

producidos mensualmente.

y

: Kilogramos de abono tipo

B

producidos mensualmente.

La función objetivo a maximizar es el beneficio total:

Z(x, y) = 15x + 10y

Sujeto a las siguientes restricciones:

x \leq 200

(Producción máxima de

A

)

2y - 3x \leq 100 \implies -3x + 2y \leq 100

x + 2y \leq 500

x \geq 0, y \geq 0

(Restricciones de no negatividad)

Cálculo de los vértices de la región factible

Determinamos los puntos de corte de las rectas que delimitan la región factible:

A(0, 0)

: Intersección de

x=0

y=0

B(0, 50)

: Intersección de

x=0

con

-3x + 2y = 100

C(100, 200)

: Intersección de

-3x + 2y = 100

x + 2y = 500

. Resolviendo el sistema:

4x = 400 \implies x = 100

;

100 + 2y = 500 \implies y = 200

D(200, 150)

: Intersección de

x + 2y = 500

x = 200

. Sustituyendo:

200 + 2y = 500 \implies 2y = 300 \implies y = 150

E(200, 0)

: Intersección de

x = 200

y = 0

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $Z(x, y) = 15x + 10y$ en cada uno de los vértices hallados:

Z(0, 0) = 15(0) + 10(0) = 0 \text{ euros}

Z(0, 50) = 15(0) + 10(50) = 500 \text{ euros}

Z(100, 200) = 15(100) + 10(200) = 1500 + 2000 = 3500 \text{ euros}

Z(200, 150) = 15(200) + 10(150) = 3000 + 1500 = 4500 \text{ euros}

Z(200, 0) = 15(200) + 10(0) = 3000 \text{ euros}

Conclusión

Para obtener el máximo beneficio, el fabricante debe producir $200 \text{ kg}$ de abono tipo $A$ y $150 \text{ kg}$ de abono tipo $B$ . El beneficio máximo obtenido será de $4500 \text{ euros}$ mensuales.