T3: Programación lineal · Optimización de recursos — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Optimización de recursos

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE A - EJERCICIO 2

Un agricultor cultiva dos tipos de lechuga: iceberg y romana. Por razones de demanda, en cada ciclo de cultivo, la cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana, pero no puede superar las 1500 unidades. Además, deben cultivarse en total entre 900 y 2400 lechugas. El cultivo de iceberg requiere 15 litros de agua por unidad, mientras que el de romana necesita 18 litros de agua por unidad. ¿Cuántas unidades de cada tipo de lechuga deben cultivarse para minimizar el consumo total de agua?

Programación linealMinimizaciónRestricciones

Planteamiento del problema

Se definen las variables: $x$ = unidades de lechuga iceberg, $y$ = unidades de lechuga romana.

Función objetivo

Se desea minimizar el consumo total de agua:

\min Z = 15x + 18y

Restricciones

1) La cantidad de iceberg debe ser al menos la mitad de la de romana:

x \geq \dfrac{y}{2}

, es decir,

2x - y \geq 0

.2) La cantidad de iceberg no puede superar las 1500 unidades:

x \leq 1500

.3) En total deben cultivarse al menos 900 lechugas:

x + y \geq 900

.4) En total no pueden superarse las 2400 lechugas:

x + y \leq 2400

.5) No negatividad:

x \geq 0

y \geq 0

Cálculo de los vértices de la región factible

Se calculan las intersecciones de las rectas frontera para determinar los vértices de la región factible.

Vértice A: Intersección de

2x - y = 0

x + y = 900

. Sumando:

3x = 900 \Rightarrow x = 300

y = 600

. Punto:

(300, 600)

.Vértice B: Intersección de

x + y = 900

x = 1500

. Entonces

y = 900 - 1500 = -600 < 0

. Este punto no es factible.

Revisando la región factible con todas las restricciones, se identifican los vértices válidos:

Vértice A: Intersección de

2x - y = 0

x + y = 900

x = 300

y = 600

\Rightarrow

(300, 600)

.Vértice B: Intersección de

2x - y = 0

x + y = 2400

3x = 2400 \Rightarrow x = 800

y = 1600

\Rightarrow

(800, 1600)

.Vértice C: Intersección de

x = 1500

x + y = 2400

y = 900

\Rightarrow

(1500, 900)

.Vértice D: Intersección de

x = 1500

x + y = 900

y = -600 < 0

. No factible.

Comprobamos si el vértice donde $x = 1500$ y $2x - y = 0$ es factible: $y = 3000$ , pero $x + y = 4500 > 2400$ . No factible.Comprobamos el vértice con $x = 1500$ y $x + y = 900$ : no válido. El punto $(1500, 900)$ cumple $2x - y = 3000 - 900 = 2100 \geq 0$ ✓, $x + y = 2400$ ✓, $x = 1500$ ✓.Los vértices de la región factible son: $A = (300, 600)$ , $B = (800, 1600)$ , $C = (1500, 900)$ .

Evaluación de la función objetivo en los vértices

A = (300, 600)

Z = 15 \cdot 300 + 18 \cdot 600 = 4500 + 10800 = 15300

litros.En

B = (800, 1600)

Z = 15 \cdot 800 + 18 \cdot 1600 = 12000 + 28800 = 40800

litros.En

C = (1500, 900)

Z = 15 \cdot 1500 + 18 \cdot 900 = 22500 + 16200 = 38700

litros.

Solución

El mínimo consumo de agua se alcanza en el vértice $A = (300, 600)$ , con un consumo total de $Z = 15300$ litros.El agricultor debe cultivar 300 unidades de lechuga iceberg y 600 unidades de lechuga romana para minimizar el consumo de agua, que será de 15 300 litros.