T3: Programación lineal · Optimización con restricciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Optimización con restricciones

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

Una sastrería dispone de $70 \text{ m}^2$ de tela de lino y de $150 \text{ m}^2$ de tela de algodón. En la confección de un traje se emplea $1 \text{ m}^2$ de tela de lino y $3 \text{ m}^2$ de tela de algodón, y en un vestido se necesitan $2 \text{ m}^2$ de tela de cada tipo. Se obtienen 60 euros de beneficio por cada traje y 70 euros por cada vestido. Determine el número de trajes y vestidos que se deben confeccionar para obtener el máximo beneficio, así como dicho beneficio máximo.

Programación linealMaximización de beneficios

Elección de variables y función objetivo

Sean las variables que representan la cantidad de productos a confeccionar:

x

: Número de trajes confeccionados.

y

: Número de vestidos confeccionados.

La función objetivo que representa el beneficio total a maximizar es:

f(x, y) = 60x + 70y

Restricciones del problema

A partir de la disponibilidad de materiales y las condiciones de confección, establecemos el siguiente sistema de inecuaciones:

Disponibilidad de lino:

x + 2y \le 70

Disponibilidad de algodón:

3x + 2y \le 150

Restricciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

Cálculo de los vértices de la región factible

La región factible es el recinto convexo delimitado por las restricciones anteriores. Calculamos los puntos de corte de las rectas para hallar los vértices:

Vértice A: Origen de coordenadas

(0, 0)

.Vértice B: Corte de

3x + 2y = 150

con el eje OX (

y=0

). Si

3x = 150 \Rightarrow x = 50

. Punto

(50, 0)

.Vértice C: Intersección de las dos rectas de materiales. Resolviendo el sistema:

\begin{cases} 3x + 2y = 150 \\ x + 2y = 70 \end{cases}

Restando las ecuaciones:

2x = 80 \Rightarrow x = 40

. Sustituyendo en la segunda:

40 + 2y = 70 \Rightarrow 2y = 30 \Rightarrow y = 15

. Punto

(40, 15)

.Vértice D: Corte de

x + 2y = 70

con el eje OY (

x=0

). Si

2y = 70 \Rightarrow y = 35

. Punto

(0, 35)

Evaluación del beneficio en los vértices

Evaluamos la función objetivo $f(x, y) = 60x + 70y$ en cada uno de los vértices hallados:

f(0, 0) = 60(0) + 70(0) = 0 \text{ euros}

f(50, 0) = 60(50) + 70(0) = 3000 \text{ euros}

f(40, 15) = 60(40) + 70(15) = 2400 + 1050 = 3450 \text{ euros}

f(0, 35) = 60(0) + 70(35) = 2450 \text{ euros}

Conclusión

Para obtener el máximo beneficio, la sastrería debe confeccionar 40 trajes y 15 vestidos, obteniendo así un beneficio total de 3450 euros.