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T3: Programación lineal
Optimización con restricciones
Problema
2024 · Ordinaria · Suplente
2
Examen

A una tienda de decoración le han encargado decorar las mesas de un salón de celebraciones con centros florales y candelabros. En el salón se montan siempre entre 12 y 40 mesas. En cada mesa solo se puede colocar un centro floral o un candelabro y, además, el número de candelabros no puede ser superior a una tercera parte de los centros florales. Si el precio de cada centro floral es de 32 € y el de cada candelabro de 35 €, ¿cuántos artículos de cada tipo debe seleccionar la tienda para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascenderán dichos ingresos?

Programación linealOptimizaciónMaximización de ingresos
Resolución del problema de Programación Lineal

En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema basándonos en los dos tipos de artículos a colocar en las mesas:

xx: número de centros florales.yy: número de candelabros.

La función que queremos maximizar es la de los ingresos totales, definida por los precios de cada artículo:

f(x,y)=32x+35yf(x, y) = 32x + 35y

A continuación, establecemos el sistema de restricciones según las condiciones del enunciado:

1) Número total de mesas (entre 12 y 40): 12≤x+y≤4012 \le x + y \le 402) Proporción de candelabros respecto a centros florales (y≤13xy \le \frac{1}{3}x): x−3y≥0x - 3y \ge 03) No negatividad: x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0

Para determinar la región factible, hallamos los vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas límite:

Vértice AA: Intersección de x+y=12x + y = 12 y x−3y=0  ⟹  (9,3)x - 3y = 0 \implies (9, 3)Vértice BB: Intersección de x+y=12x + y = 12 y y=0  ⟹  (12,0)y = 0 \implies (12, 0)Vértice CC: Intersección de x+y=40x + y = 40 y y=0  ⟹  (40,0)y = 0 \implies (40, 0)Vértice DD: Intersección de x+y=40x + y = 40 y x−3y=0  ⟹  (30,10)x - 3y = 0 \implies (30, 10)

Evaluamos la función objetivo f(x,y)=32x+35yf(x, y) = 32x + 35y en cada uno de los vértices para encontrar el máximo:

f(9,3)=32(9)+35(3)=288+105=393f(9, 3) = 32(9) + 35(3) = 288 + 105 = 393 €f(12,0)=32(12)+35(0)=384f(12, 0) = 32(12) + 35(0) = 384 €f(40,0)=32(40)+35(0)=1280f(40, 0) = 32(40) + 35(0) = 1280 €f(30,10)=32(30)+35(10)=960+350=1310f(30, 10) = 32(30) + 35(10) = 960 + 350 = 1310 €
x+y≥12x+y≤40x-3y≥0(9, 3)(12, 0)(40, 0)(30, 10)Máx: z = 131001020304050510xyz = 32x + 35y

Para maximizar los ingresos, la tienda debe seleccionar 30 centros florales y 10 candelabros. Dichos ingresos ascenderán a un total de 1310 €.