T3: Programación lineal · Optimización con restricciones — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Optimización con restricciones

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

Un joyero desea fabricar dos tipos de pulseras, $A$ y $B$ , y para ello dispone de $50 \text{ g}$ de oro, $40 \text{ g}$ de platino y $25 \text{ g}$ de plata. Para fabricar las del tipo $A$ necesita $1 \text{ g}$ de oro y $2 \text{ g}$ de platino, mientras que para las del tipo $B$ requiere $2 \text{ g}$ de oro, $1 \text{ g}$ de platino y $1 \text{ g}$ de plata. Cada pulsera del tipo $A$ se vende por $150 \text{ \,\text{euros}}$ y cada una del tipo $B$ por $200 \text{ \,\text{euros}}$ . Si se vende toda la producción, ¿cuántas pulseras de cada tipo debe fabricar para maximizar los ingresos y a cuánto ascienden éstos? ¿Qué cantidad de cada metal sobrará cuando se fabrique el número de joyas que proporciona el máximo beneficio?

OptimizaciónIngresosRestricciones

Planteamiento del problema de programación lineal

Sean $x$ el número de pulseras de tipo $A$ e $y$ el número de pulseras de tipo $B$ . El objetivo es maximizar la función de ingresos $I(x, y) = 150x + 200y$ bajo las siguientes restricciones basadas en los recursos disponibles:

\begin{cases} x + 2y \le 50 & \text{(Disponibilidad de oro)} \\ 2x + y \le 40 & \text{(Disponibilidad de platino)} \\ y \le 25 & \text{(Disponibilidad de plata)} \\ x \ge 0, y \ge 0 & \text{(No negatividad)} \end{cases}

Cálculo de los vértices de la región factible

La región factible está limitada por los ejes de coordenadas y las rectas correspondientes a las restricciones. Calculamos los puntos de intersección para determinar los vértices:

1. Intersección de los ejes:

A(0, 0)

.2. Intersección de

2x + y = 40

con el eje

OX

(

y=0

2x = 40 \implies x = 20

. Vértice

B(20, 0)

.3. Intersección de

x + 2y = 50

2x + y = 40

: Multiplicando la segunda por

-2

y sumando:

-3x = -30 \implies x = 10

. Sustituyendo,

10 + 2y = 50 \implies 2y = 40 \implies y = 20

. Vértice

C(10, 20)

.4. Intersección de

x + 2y = 50

con el eje

OY

(

x=0

2y = 50 \implies y = 25

. Como este punto cumple también

y \le 25

, es el vértice

D(0, 25)

Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $I(x, y) = 150x + 200y$ en cada vértice para encontrar el máximo:

I(0, 0) = 150(0) + 200(0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

I(20, 0) = 150(20) + 200(0) = 3000 \text{ \,\text{euros}}

I(10, 20) = 150(10) + 200(20) = 1500 + 4000 = 5500 \text{ \,\text{euros}}

I(0, 25) = 150(0) + 200(25) = 5000 \text{ \,\text{euros}}

Resultados finales y sobrante de materiales

Para maximizar los ingresos, el joyero debe fabricar 10 pulseras del tipo $A$ y 20 pulseras del tipo $B$ . Los ingresos totales ascenderán a $5500 \text{ \,\text{euros}}$ .Calculamos la cantidad de metal utilizada en el punto óptimo $(10, 20)$ para determinar el sobrante:

Oro utilizado:

1(10) + 2(20) = 50 \text{ g}

. Sobra:

50 - 50 = 0 \text{ g}

de oro.Platino utilizado:

2(10) + 1(20) = 40 \text{ g}

. Sobra:

40 - 40 = 0 \text{ g}

de platino.Plata utilizada:

0(10) + 1(20) = 20 \text{ g}

. Sobra:

25 - 20 = 5 \text{ g}

de plata.