T3: Programación lineal · Optimización lineal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2022

Optimización lineal

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

x + 2y \geq 7 ; 2x - y \leq 4 ; 4x - y \geq 1 ; 3x + 2y \leq 20

a) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.b) Obtenga el valor máximo de la función

F(x, y) = x + 3y

en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.

Región factibleVérticesMáximo

a) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.

En primer lugar, transformamos las inecuaciones en igualdades para representar las rectas que delimitan la región factible:

L_1: x + 2y = 7 \quad L_2: 2x - y = 4 \quad L_3: 4x - y = 1 \quad L_4: 3x + 2y = 20

Calculamos los vértices del recinto hallando los puntos de intersección de las rectas que lo definen:Vértice $A$ (intersección de $L_1$ y $L_3$ ):

\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \implies x + 2(4x - 1) = 7 \implies 9x = 9 \implies x = 1, y = 3 \implies A(1, 3)

Vértice $B$ (intersección de $L_3$ y $L_4$ ):

\begin{cases} 4x - y = 1 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases} \implies 3x + 2(4x - 1) = 20 \implies 11x = 22 \implies x = 2, y = 7 \implies B(2, 7)

Vértice $C$ (intersección de $L_4$ y $L_2$ ):

\begin{cases} 3x + 2y = 20 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \implies 3x + 2(2x - 4) = 20 \implies 7x = 28 \implies x = 4, y = 4 \implies C(4, 4)

Vértice $D$ (intersección de $L_2$ y $L_1$ ):

\begin{cases} 2x - y = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} \implies x + 2(2x - 4) = 7 \implies 5x = 15 \implies x = 3, y = 2 \implies D(3, 2)

b) Obtenga el valor máximo de la función

F(x, y) = x + 3y

en el recinto anterior, así como el punto donde se alcanza.

Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = x + 3y$ en cada uno de los vértices hallados: $F(A) = F(1, 3) = 1 + 3(3) = 10$ $F(B) = F(2, 7) = 2 + 3(7) = 23$ $F(C) = F(4, 4) = 4 + 3(4) = 16$ $F(D) = F(3, 2) = 3 + 3(2) = 9$

El valor máximo de la función es 23 y se alcanza en el vértice $B(2, 7)$ .