T3: Programación lineal · Optimización lineal — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Optimización lineal

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Un servicio técnico recibe un encargo para revisar lavadoras y frigoríficos de una empresa de apartahoteles. La revisión de cada lavadora requiere 100 minutos de trabajo, mientras que cada frigorífico requiere 50 minutos. El servicio técnico dispone de 26 horas y 40 minutos para hacer las revisiones. Por política de empresa, no se aceptan encargos de más de 12 lavadoras ni de más de 16 frigoríficos. Sabiendo que las revisiones se pagan a $50 \text{ \euro}$ la hora, en ambos tipos de electrodomésticos, ¿cuántos electrodomésticos de cada clase debe revisar el servicio técnico para maximizar el ingreso con el encargo? ¿A cuánto asciende este ingreso máximo?

Programación linealOptimizaciónMaximización

Definimos las variables del problema basándonos en las cantidades de cada electrodoméstico a revisar: $x$ : número de lavadoras a revisar. $y$ : número de frigoríficos a revisar.

1. Restricciones del problema

Convertimos el tiempo disponible a minutos: $26 \text{ h y } 40 \text{ min} = 26 \cdot 60 + 40 = 1560 + 40 = 1600 \text{ minutos}$ . Las restricciones son:

Tiempo de trabajo:

100x + 50y \le 1600

. Simplificando (dividiendo entre 50):

2x + y \le 32

.Límite de lavadoras:

x \le 12

.Límite de frigoríficos:

y \le 16

.Condiciones de no negatividad:

x \ge 0, y \ge 0

2. Función objetivo

El ingreso se calcula en función del tiempo trabajado a razón de $50 \text{ \,\text{euros}/hora}$ ( $5/6 \text{ \,\text{euros}/minuto}$ ):

I(x, y) = \frac{5}{6}(100x + 50y) = \frac{500}{6}x + \frac{250}{6}y = \frac{250}{3}x + \frac{125}{3}y

3. Región factible y vértices

Calculamos los vértices de la región factible mediante el sistema de desigualdades:

A(0, 0)

: Origen.

B(12, 0)

: Intersección de

x=12

y=0

C(12, 8)

: Intersección de

x=12

2x + y = 32

(

2 \cdot 12 + y = 32 \Rightarrow y = 8

D(8, 16)

: Intersección de

y=16

2x + y = 32

(

2x + 16 = 32 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8

E(0, 16)

: Intersección de

x=0

y=16

4. Evaluación de la función objetivo

Evaluamos $I(x, y)$ en cada vértice para hallar el máximo:

I(0, 0) = 0 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 0) = \frac{250}{3}(12) + 0 = 1000 \text{ \,\text{euros}}

I(12, 8) = \frac{250 \cdot 12 + 125 \cdot 8}{3} = \frac{3000 + 1000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333,33 \text{ \,\text{euros}}

I(8, 16) = \frac{250 \cdot 8 + 125 \cdot 16}{3} = \frac{2000 + 2000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333,33 \text{ \,\text{euros}}

I(0, 16) = 0 + \frac{125 \cdot 16}{3} = \frac{2000}{3} \approx 666,67 \text{ \,\text{euros}}

Solución

Se obtiene un ingreso máximo de $1333,33 \text{ \,\text{euros}}$ . Este valor se alcanza en cualquier punto del segmento que une los vértices $(8, 16)$ y $(12, 8)$ . Considerando valores enteros, el servicio técnico puede elegir cualquiera de las siguientes combinaciones:

8 lavadoras y 16 frigoríficos.9 lavadoras y 14 frigoríficos.10 lavadoras y 12 frigoríficos.11 lavadoras y 10 frigoríficos.12 lavadoras y 8 frigoríficos.