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T3: Programación lineal
Optimización
Problema
2023 · Extraordinaria · Reserva
2
Examen

Una compañía de transporte marítimo de mercancías dispone de dos barcos B1B_1 y B2B_2 para realizar una determinada ruta, durante un año, entre dos ciudades costeras europeas. El barco B1B_1 no puede realizar más de 14 viajes y debe realizar tantos viajes o más que el barco B2B_2. Entre los dos barcos deben realizar al menos 10 viajes y como mucho 24. La compañía obtiene unos beneficios de 1500015000 € por cada viaje del barco B1B_1 y 1700017000 € por cada viaje del barco B2B_2. Halle el número de viajes que debe realizar cada barco para que el beneficio obtenido por la empresa sea máximo y obtenga dicho beneficio.

Programación linealOptimizaciónMaximización de beneficios
Planteamiento del problema

Sean xx e yy el número de viajes realizados por los barcos B1B_1 y B2B_2 respectivamente. La función de beneficios que queremos maximizar es:

f(x,y)=15000x+17000yf(x, y) = 15000x + 17000y

Las restricciones dadas por el enunciado son:

El barco B1B_1 no puede realizar más de 14 viajes: x≤14x \le 14Realizar tantos viajes o más que el barco B2B_2: x≥yx \ge y (o x−y≥0x - y \ge 0)Al menos 10 viajes entre los dos barcos: x+y≥10x + y \ge 10Como mucho 24 viajes entre los dos barcos: x+y≤24x + y \le 24Restricciones de no negatividad: x≥0,y≥0x \ge 0, y \ge 0
Cálculo de los vértices de la región factible

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan la región factible:

Vértice A: Intersección de x+y=10x + y = 10 e y=0y = 0. Obtenemos A(10,0)A(10, 0).Vértice B: Intersección de x=14x = 14 e y=0y = 0. Obtenemos B(14,0)B(14, 0).Vértice C: Intersección de x=14x = 14 y x+y=24x + y = 24. Sustituyendo xx, 14+y=24⇒y=1014 + y = 24 \Rightarrow y = 10. Obtenemos C(14,10)C(14, 10).Vértice D: Intersección de x=yx = y y x+y=24x + y = 24. Sustituyendo, 2x=24⇒x=12,y=122x = 24 \Rightarrow x = 12, y = 12. Obtenemos D(12,12)D(12, 12).Vértice E: Intersección de x=yx = y y x+y=10x + y = 10. Sustituyendo, 2x=10⇒x=5,y=52x = 10 \Rightarrow x = 5, y = 5. Obtenemos E(5,5)E(5, 5).
Evaluación de la función objetivo

Evaluamos el beneficio en cada uno de los vértices calculados:

f(10,0)=15000(10)+17000(0)=150000f(10, 0) = 15000(10) + 17000(0) = 150000 €f(14,0)=15000(14)+17000(0)=210000f(14, 0) = 15000(14) + 17000(0) = 210000 €f(14,10)=15000(14)+17000(10)=210000+170000=380000f(14, 10) = 15000(14) + 17000(10) = 210000 + 170000 = 380000 €f(12,12)=15000(12)+17000(12)=180000+204000=384000f(12, 12) = 15000(12) + 17000(12) = 180000 + 204000 = 384000 €f(5,5)=15000(5)+17000(5)=75000+85000=160000f(5, 5) = 15000(5) + 17000(5) = 75000 + 85000 = 160000 €
x ≤ 14x ≥ yx+y ≥ 10x+y ≤ 24(10, 0)(14, 0)(14, 10)(12, 12)(5, 5)Máx: z = 38400005101551015xyz = 15000x + 17000y
Conclusión

El beneficio máximo se alcanza realizando 12 viajes con el barco B1B_1 y 12 viajes con el barco B2B_2. El beneficio máximo obtenido por la empresa es de 384000 €.