Sistemas de ecuaciones lineales

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4 ejercicios

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

EJERCICIO 1

a) La suma de tres números naturales es 113; al dividir el mayor entre el menor se obtiene de cociente 6 y resto 4 y al dividir el mayor entre el intermedio se obtiene de cociente 2 y resto 6. Halle dichos números.b) Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

MatricesSistemas de ecuacionesMatriz inversa

Sean $x, y, z$ los tres números naturales, ordenados de menor a mayor ( $x < y < z$ ). Las condiciones del enunciado se pueden expresar como un sistema de ecuaciones:

x + y + z = 113 \quad (I)

z = 6x + 4 \quad (II)

z = 2y + 6 \quad (III)

De las propiedades de la división, el divisor debe ser mayor que el resto. Por tanto, de la ecuación (II), $x > 4$ , y de la ecuación (III), $y > 6$ .Igualamos las expresiones de $z$ de las ecuaciones (II) y (III):

6x + 4 = 2y + 6

6x - 2y = 2

3x - y = 1

y = 3x - 1 \quad (IV)

Ahora sustituimos las expresiones de $y$ (ecuación IV) y $z$ (ecuación II) en la ecuación (I) ( $x + y + z = 113$ ):

x + (3x - 1) + (6x + 4) = 113

10x + 3 = 113

10x = 110

x = 11

Con el valor de $x$ , calculamos $y$ usando la ecuación (IV) y $z$ usando la ecuación (II):

y = 3(11) - 1 = 33 - 1 = 32

z = 6(11) + 4 = 66 + 4 = 70

Los números naturales son $11, 32, 70$ . Comprobamos que cumplen las condiciones iniciales: $x=11 > 4$ y $y=32 > 6$ .Suma: $11+32+70 = 113$ .División del mayor entre el menor: $70 = 6 \cdot 11 + 4$ .División del mayor entre el intermedio: $70 = 2 \cdot 32 + 6$ .

b) Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

, compruebe si la inversa de la suma de dichas matrices coincide con la suma de las inversas de cada una.

Para comprobar la afirmación, calcularemos $(A+B)^{-1}$ y $A^{-1} + B^{-1}$ por separado y compararemos los resultados.

Cálculo de $(A+B)^{-1}$

Primero, sumamos las matrices $A$ y $B$ :

A+B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & -1+1 \\ 2+2 & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos el determinante de $A+B$ :

\text{det}(A+B) = (1)(4) - (0)(4) = 4 - 0 = 4

Puesto que $\text{det}(A+B) = 4 \neq 0$ , la matriz $A+B$ tiene inversa. Su inversa es:

(A+B)^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A+B)} \text{adj}(A+B)^T = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de $A$ :

\text{det}(A) = (1)(3) - (-1)(2) = 3 - (-2) = 5

Puesto que $\text{det}(A) = 5 \neq 0$ , la matriz $A$ tiene inversa. Su inversa es:

A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)^T = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Cálculo de $B^{-1}$

Primero, calculamos el determinante de $B$ :

\text{det}(B) = (0)(1) - (1)(2) = 0 - 2 = -2

Puesto que $\text{det}(B) = -2 \neq 0$ , la matriz $B$ tiene inversa. Su inversa es:

B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \text{adj}(B)^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1} + B^{-1}$

Ahora sumamos las inversas calculadas:

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 & 1/5 \\ -2/5 & 1/5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 & 1/2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 3/5 - 1/2 & 1/5 + 1/2 \\ -2/5 + 1 & 1/5 + 0 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 6/10 - 5/10 & 2/10 + 5/10 \\ -2/5 + 5/5 & 1/5 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Conclusión

Comparamos los resultados obtenidos para $(A+B)^{-1}$ y $A^{-1} + B^{-1}$ :

(A+B)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1/4 \end{pmatrix}

A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/10 & 7/10 \\ 3/5 & 1/5 \end{pmatrix}

Dado que las matrices resultantes no son iguales, se concluye que la inversa de la suma de dichas matrices NO coincide con la suma de las inversas de cada una. Es decir, $(A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$ .

T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

En una empresa de diseño gráfico, tres personas empleadas, Ana, Bruno y Carla, trabajan en un proyecto conjunto.

a) Se sabe que Ana ha dedicado un tercio del total de horas que ha necesitado el proyecto. Además, la suma de las horas trabajadas por Ana y Bruno excede en 6 horas a las que ha dedicado Carla, quien a su vez ha trabajado 4 horas más que Bruno. ¿Cuántas horas ha trabajado cada persona involucrada en el proyecto?b) Si la empresa paga

25 \text{ \,\text{euros}}

por cada hora de trabajo en el proyecto y de seguros sociales el

23.60 \%

del salario, ¿cuánto tiene que abonar la empresa para pagar los costes de este proyecto?

Sistemas de ecuacionesProblemas económicosÁlgebra

a) Definimos las horas trabajadas por cada persona:

Sea $A$ el número de horas trabajadas por Ana.Sea $B$ el número de horas trabajadas por Bruno.Sea $C$ el número de horas trabajadas por Carla.Traducimos las condiciones dadas en el enunciado a un sistema de ecuaciones:1. Ana ha dedicado un tercio del total de horas del proyecto: $A = rac{1}{3}(A+B+C)$ 2. La suma de las horas de Ana y Bruno excede en 6 a las de Carla: $A + B = C + 6$ 3. Carla ha trabajado 4 horas más que Bruno: $C = B + 4$ Resolvemos el sistema de ecuaciones:Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (2):

A + B = (B + 4) + 6

A + B = B + 10

A = 10

Ana ha trabajado 10 horas.Ahora, sustituimos el valor de $A$ en la ecuación (1):

10 = \frac{1}{3}(10+B+C)

30 = 10+B+C

20 = B+C \quad (4)

Tenemos un nuevo sistema con las ecuaciones (3) y (4):

\begin{cases} C = B + 4 \\ 20 = B + C \end{cases}

Sustituimos la ecuación (3) en la ecuación (4):

20 = B + (B + 4)

20 = 2B + 4

16 = 2B

B = 8

Bruno ha trabajado 8 horas.Finalmente, sustituimos el valor de $B$ en la ecuación (3) para encontrar $C$ :

C = 8 + 4

C = 12

Carla ha trabajado 12 horas.Por lo tanto, Ana ha trabajado 10 horas, Bruno ha trabajado 8 horas y Carla ha trabajado 12 horas.

b) Calculamos el coste total del proyecto para la empresa.

El total de horas trabajadas en el proyecto es la suma de las horas de cada persona:

\text{Total de horas} = A + B + C = 10 + 8 + 12 = 30 \text{ horas}

El salario por hora es de $25 \text{ \,\text{euros}}$ . Calculamos el salario total:

\text{Salario total} = 30 \text{ horas} \times 25 \text{ \,\text{euros}/hora} = 750 \text{ \,\text{euros}}

Los seguros sociales representan el $23.60 \%$ del salario. Calculamos el coste de los seguros sociales:

\text{Coste seguros sociales} = 0.2360 \times 750 \text{ \,\text{euros}} = 177 \text{ \,\text{euros}}

El coste total para la empresa es la suma del salario total y el coste de los seguros sociales:

\text{Coste total empresa} = \text{Salario total} + \text{Coste seguros sociales}

\text{Coste total empresa} = 750 \text{ \,\text{euros}} + 177 \text{ \,\text{euros}} = 927 \text{ \,\text{euros}}

La empresa tiene que abonar $927 \text{ \,\text{euros}}$ para pagar los costes de este proyecto.

T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas con sistemas y álgebra matricial

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE A - EJERCICIO 1

a) Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de

2960W

. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de

2990W

. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de

2870W

. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Sistemas de ecuacionesMatricesEcuación matricial

a) Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.

Sean $x$ , $y$ y $z$ las potencias efectivas individuales generadas por los modelos de placas fotovoltaicas A, B y C, respectivamente. De acuerdo con las pruebas realizadas, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 2x + y + 3z = 2960 \\ x + 3y + 2z = 2990 \\ 3x + 2y + z = 2870 \end{cases}

Este sistema puede expresarse en forma matricial como $A \cdot X = B$ , donde:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2960 \\ 2990 \\ 2870 \end{pmatrix}

Para determinar si se puede obtener la potencia efectiva individual de cada modelo, necesitamos analizar el determinante de la matriz de coeficientes $A$ . Si $\det(A) \neq 0$ , el sistema tiene una solución única.

\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A) = 2(3 - 4) - 1(1 - 6) + 3(2 - 9)

\det(A) = 2(-1) - 1(-5) + 3(-7)

\det(A) = -2 + 5 - 21 = -18

Dado que $\det(A) = -18 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible, lo que significa que el sistema tiene una única solución. Por lo tanto, sí se pueden obtener las potencias efectivas que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica.Resolvemos el sistema utilizando la Regla de Cramer:

\det(A_x) = \begin{vmatrix} 2960 & 1 & 3 \\ 2990 & 3 & 2 \\ 2870 & 2 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_x) = 2960(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) + 3(2990 \cdot 2 - 3 \cdot 2870)

\det(A_x) = 2960(-1) - 1(2990 - 5740) + 3(5980 - 8610)

\det(A_x) = -2960 - 1(-2750) + 3(-2630) = -2960 + 2750 - 7890 = -8100

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-8100}{-18} = 450

\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 2960 & 3 \\ 1 & 2990 & 2 \\ 3 & 2870 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_y) = 2(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) - 2960(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2870 - 2990 \cdot 3)

\det(A_y) = 2(2990 - 5740) - 2960(1 - 6) + 3(2870 - 8970)

\det(A_y) = 2(-2750) - 2960(-5) + 3(-6100) = -5500 + 14800 - 18300 = -9000

y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-9000}{-18} = 500

\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2960 \\ 1 & 3 & 2990 \\ 3 & 2 & 2870 \end{vmatrix}

\det(A_z) = 2(3 \cdot 2870 - 2 \cdot 2990) - 1(1 \cdot 2870 - 3 \cdot 2990) + 2960(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A_z) = 2(8610 - 5980) - 1(2870 - 8970) + 2960(2 - 9)

\det(A_z) = 2(2630) - 1(-6100) + 2960(-7) = 5260 + 6100 - 20720 = -9360

z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-9360}{-18} = 520

Las potencias efectivas individuales son: Modelo A = $450 W$ , Modelo B = $500 W$ , Modelo C = $520 W$ .

b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Primero, calculamos el cuadrado de la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ :

M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 1 - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos $M^2$ en la ecuación original:

2X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Realizamos la multiplicación de la matriz identidad por el vector columna:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

La ecuación se simplifica a:

2X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos para $X$ dividiendo por 2:

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1/2 \end{pmatrix}

T2: Sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

a) En un festival gastronómico gaditano se han vendido entradas para tres eventos culinarios. Concretamente, 120 entradas para un taller de repostería, 50 para una demostración de cocina gourmet y 150 para una cata de vinos de la tierra de Cádiz. El total recaudado por la venta de entradas ha sido de

6460 \text{ \euro}

. Se sabe que el precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con el coste de la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet. Además, el coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en

6 \text{ \euro}

al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?b) Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

, calcule el rango de

A

A^2

MatricesSistemas de ecuacionesRango

a) Para resolver este problema, definimos las siguientes variables:

Sea $x$ el precio de la entrada para el taller de repostería.Sea $y$ el precio de la entrada para la demostración de cocina gourmet.Sea $z$ el precio de la entrada para la cata de vinos.A partir de la información proporcionada, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:1. El total recaudado por la venta de entradas es de $6460 \text{ \,\text{euros}}$ :

120x + 50y + 150z = 6460

Dividiendo por 10, simplificamos la ecuación a:

12x + 5y + 15z = 646 \quad (1)

2. El precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet:

10x = 2z + y

Reordenando la ecuación:

10x - y - 2z = 0 \quad (2)

3. El coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en $6 \text{ \,\text{euros}}$ al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet:

2x + z = 2y + 6

Reordenando la ecuación:

2x - 2y + z = 6 \quad (3)

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 12x + 5y + 15z = 646 \quad (1) \\ 10x - y - 2z = 0 \quad (2) \\ 2x - 2y + z = 6 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (2), despejamos $y$ : $y = 10x - 2z$ .Sustituimos $y$ en la ecuación (1):

12x + 5(10x - 2z) + 15z = 646

12x + 50x - 10z + 15z = 646

62x + 5z = 646 \quad (A)

Sustituimos $y$ en la ecuación (3):

2x - 2(10x - 2z) + z = 6

2x - 20x + 4z + z = 6

-18x + 5z = 6 \quad (B)

Tenemos un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

\begin{cases} 62x + 5z = 646 \quad (A) \\ -18x + 5z = 6 \quad (B) \end{cases}

Restamos la ecuación (B) de la ecuación (A):

(62x + 5z) - (-18x + 5z) = 646 - 6

62x + 18x = 640

80x = 640

x = \frac{640}{80} = 8

Sustituimos $x = 8$ en la ecuación (B):

-18(8) + 5z = 6

-144 + 5z = 6

5z = 150

z = \frac{150}{5} = 30

Finalmente, sustituimos $x = 8$ y $z = 30$ en la expresión para $y$ :

y = 10(8) - 2(30)

y = 80 - 60

y = 20

Por lo tanto, los precios de las entradas son:Entrada para el taller de repostería: $8 \text{ \,\text{euros}}$ .Entrada para la demostración de cocina gourmet: $20 \text{ \,\text{euros}}$ .Entrada para la cata de vinos: $30 \text{ \,\text{euros}}$ .

b) Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

, calculamos su rango.

Para calcular el rango de $A$ , primero calculamos su determinante. Si $\det(A) \neq 0$ , el rango es 3. Si $\det(A) = 0$ , el rango es menor que 3.

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - 0(-1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (-1)(-1 \cdot 2 - 2 \cdot 1)

\det(A) = 1(2 - 6) - 0 + (-1)(-2 - 2)

\det(A) = 1(-4) - 1(-4) = -4 + 4 = 0

Dado que $\det(A) = 0$ , el rango de $A$ es menor que 3. Ahora buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante no sea cero.Consideramos el menor formado por las primeras dos filas y columnas:

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (0)(-1) = 2 - 0 = 2

Como existe un menor de orden 2 con determinante no nulo, el rango de $A$ es 2.

\text{rank}(A) = 2

Ahora, calculamos $A^2 = A \cdot A$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 10 & 10 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}

Para calcular el rango de $A^2$ , observamos que la primera columna de $A^2$ es una columna de ceros. Esto implica que $\det(A^2) = 0$ , por lo que $\text{rank}(A^2) < 3$ .Además, las columnas 2 y 3 de $A^2$ son idénticas, lo que significa que son linealmente dependientes ( $C_3 = C_2$ ). Esto implica que no puede haber dos columnas linealmente independientes entre la segunda y la tercera.Considerando las filas, la fila 2 es $F_2 = -5F_1$ , ya que $(0, 10, 10) = -5(0, -2, -2)$ . De manera similar, la fila 3 es $F_3 = -3F_1$ , ya que $(0, 6, 6) = -3(0, -2, -2)$ . Esto indica que solo hay una fila linealmente independiente no nula.Para ser más formal, realizamos operaciones elementales por filas para encontrar el rango:

\begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 10 & 10 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 \leftarrow F_2 + 5F_1, F_3 \leftarrow F_3 + 3F_1} \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

La matriz reducida tiene solo una fila no nula. Por lo tanto, el rango de $A^2$ es 1.

\text{rank}(A^2) = 1