T2: Sistemas de ecuaciones lineales · Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones lineales

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

a) En un festival gastronómico gaditano se han vendido entradas para tres eventos culinarios. Concretamente, 120 entradas para un taller de repostería, 50 para una demostración de cocina gourmet y 150 para una cata de vinos de la tierra de Cádiz. El total recaudado por la venta de entradas ha sido de

6460 \text{ \euro}

. Se sabe que el precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con el coste de la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet. Además, el coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en

6 \text{ \euro}

al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet. ¿Cuánto cuesta la entrada de cada evento?b) Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

, calcule el rango de

A

A^2

MatricesSistemas de ecuacionesRango

a) Para resolver este problema, definimos las siguientes variables:

Sea $x$ el precio de la entrada para el taller de repostería.Sea $y$ el precio de la entrada para la demostración de cocina gourmet.Sea $z$ el precio de la entrada para la cata de vinos.A partir de la información proporcionada, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:1. El total recaudado por la venta de entradas es de $6460 \text{ \,\text{euros}}$ :

120x + 50y + 150z = 6460

Dividiendo por 10, simplificamos la ecuación a:

12x + 5y + 15z = 646 \quad (1)

2. El precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet:

10x = 2z + y

Reordenando la ecuación:

10x - y - 2z = 0 \quad (2)

3. El coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en $6 \text{ \,\text{euros}}$ al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet:

2x + z = 2y + 6

Reordenando la ecuación:

2x - 2y + z = 6 \quad (3)

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 12x + 5y + 15z = 646 \quad (1) \\ 10x - y - 2z = 0 \quad (2) \\ 2x - 2y + z = 6 \quad (3) \end{cases}

De la ecuación (2), despejamos $y$ : $y = 10x - 2z$ .Sustituimos $y$ en la ecuación (1):

12x + 5(10x - 2z) + 15z = 646

12x + 50x - 10z + 15z = 646

62x + 5z = 646 \quad (A)

Sustituimos $y$ en la ecuación (3):

2x - 2(10x - 2z) + z = 6

2x - 20x + 4z + z = 6

-18x + 5z = 6 \quad (B)

Tenemos un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

\begin{cases} 62x + 5z = 646 \quad (A) \\ -18x + 5z = 6 \quad (B) \end{cases}

Restamos la ecuación (B) de la ecuación (A):

(62x + 5z) - (-18x + 5z) = 646 - 6

62x + 18x = 640

80x = 640

x = \frac{640}{80} = 8

Sustituimos $x = 8$ en la ecuación (B):

-18(8) + 5z = 6

-144 + 5z = 6

5z = 150

z = \frac{150}{5} = 30

Finalmente, sustituimos $x = 8$ y $z = 30$ en la expresión para $y$ :

y = 10(8) - 2(30)

y = 80 - 60

y = 20

Por lo tanto, los precios de las entradas son:Entrada para el taller de repostería: $8 \text{ \,\text{euros}}$ .Entrada para la demostración de cocina gourmet: $20 \text{ \,\text{euros}}$ .Entrada para la cata de vinos: $30 \text{ \,\text{euros}}$ .

b) Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

, calculamos su rango.

Para calcular el rango de $A$ , primero calculamos su determinante. Si $\det(A) \neq 0$ , el rango es 3. Si $\det(A) = 0$ , el rango es menor que 3.

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 1 - 3 \cdot 2) - 0(-1 \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (-1)(-1 \cdot 2 - 2 \cdot 1)

\det(A) = 1(2 - 6) - 0 + (-1)(-2 - 2)

\det(A) = 1(-4) - 1(-4) = -4 + 4 = 0

Dado que $\det(A) = 0$ , el rango de $A$ es menor que 3. Ahora buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante no sea cero.Consideramos el menor formado por las primeras dos filas y columnas:

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (0)(-1) = 2 - 0 = 2

Como existe un menor de orden 2 con determinante no nulo, el rango de $A$ es 2.

\text{rank}(A) = 2

Ahora, calculamos $A^2 = A \cdot A$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 10 & 10 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix}

Para calcular el rango de $A^2$ , observamos que la primera columna de $A^2$ es una columna de ceros. Esto implica que $\det(A^2) = 0$ , por lo que $\text{rank}(A^2) < 3$ .Además, las columnas 2 y 3 de $A^2$ son idénticas, lo que significa que son linealmente dependientes ( $C_3 = C_2$ ). Esto implica que no puede haber dos columnas linealmente independientes entre la segunda y la tercera.Considerando las filas, la fila 2 es $F_2 = -5F_1$ , ya que $(0, 10, 10) = -5(0, -2, -2)$ . De manera similar, la fila 3 es $F_3 = -3F_1$ , ya que $(0, 6, 6) = -3(0, -2, -2)$ . Esto indica que solo hay una fila linealmente independiente no nula.Para ser más formal, realizamos operaciones elementales por filas para encontrar el rango:

\begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 10 & 10 \\ 0 & 6 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{F_2 \leftarrow F_2 + 5F_1, F_3 \leftarrow F_3 + 3F_1} \begin{pmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

La matriz reducida tiene solo una fila no nula. Por lo tanto, el rango de $A^2$ es 1.

\text{rank}(A^2) = 1