T2: Sistemas de ecuaciones lineales · Resolución de problemas con sistemas y álgebra matricial — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Resolución de problemas con sistemas y álgebra matricial

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

BLOQUE A - EJERCICIO 1

a) Un fabricante de paneles fotovoltaicos está analizando la eficiencia de tres modelos de placas (A, B y C). En un día determinado se realizaron tres pruebas. En la primera, utilizando 2 placas del modelo A, 1 placa del modelo B y 3 placas del modelo C, se generó una potencia efectiva total de

2960W

. En la segunda, al combinar 1 placa del modelo A, 3 placas del modelo B y 2 placas del modelo C, se obtuvo una potencia efectiva total de

2990W

. En la tercera, una configuración con 3 placas del modelo A, 2 placas del modelo B y 1 placa del modelo C produjo una potencia efectiva total de

2870W

. Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Sistemas de ecuacionesMatricesEcuación matricial

a) Exprese el problema en forma matricial y discuta, a partir de la matriz del sistema, si se puede obtener la potencia efectiva que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica. En caso afirmativo, obtenga dichas potencias efectivas.

Sean $x$ , $y$ y $z$ las potencias efectivas individuales generadas por los modelos de placas fotovoltaicas A, B y C, respectivamente. De acuerdo con las pruebas realizadas, podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\begin{cases} 2x + y + 3z = 2960 \\ x + 3y + 2z = 2990 \\ 3x + 2y + z = 2870 \end{cases}

Este sistema puede expresarse en forma matricial como $A \cdot X = B$ , donde:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2960 \\ 2990 \\ 2870 \end{pmatrix}

Para determinar si se puede obtener la potencia efectiva individual de cada modelo, necesitamos analizar el determinante de la matriz de coeficientes $A$ . Si $\det(A) \neq 0$ , el sistema tiene una solución única.

\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 2(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A) = 2(3 - 4) - 1(1 - 6) + 3(2 - 9)

\det(A) = 2(-1) - 1(-5) + 3(-7)

\det(A) = -2 + 5 - 21 = -18

Dado que $\det(A) = -18 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible, lo que significa que el sistema tiene una única solución. Por lo tanto, sí se pueden obtener las potencias efectivas que generó individualmente cada modelo de placa fotovoltaica.Resolvemos el sistema utilizando la Regla de Cramer:

\det(A_x) = \begin{vmatrix} 2960 & 1 & 3 \\ 2990 & 3 & 2 \\ 2870 & 2 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_x) = 2960(3 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) + 3(2990 \cdot 2 - 3 \cdot 2870)

\det(A_x) = 2960(-1) - 1(2990 - 5740) + 3(5980 - 8610)

\det(A_x) = -2960 - 1(-2750) + 3(-2630) = -2960 + 2750 - 7890 = -8100

x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-8100}{-18} = 450

\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 2960 & 3 \\ 1 & 2990 & 2 \\ 3 & 2870 & 1 \end{vmatrix}

\det(A_y) = 2(2990 \cdot 1 - 2 \cdot 2870) - 2960(1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + 3(1 \cdot 2870 - 2990 \cdot 3)

\det(A_y) = 2(2990 - 5740) - 2960(1 - 6) + 3(2870 - 8970)

\det(A_y) = 2(-2750) - 2960(-5) + 3(-6100) = -5500 + 14800 - 18300 = -9000

y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{-9000}{-18} = 500

\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2960 \\ 1 & 3 & 2990 \\ 3 & 2 & 2870 \end{vmatrix}

\det(A_z) = 2(3 \cdot 2870 - 2 \cdot 2990) - 1(1 \cdot 2870 - 3 \cdot 2990) + 2960(1 \cdot 2 - 3 \cdot 3)

\det(A_z) = 2(8610 - 5980) - 1(2870 - 8970) + 2960(2 - 9)

\det(A_z) = 2(2630) - 1(-6100) + 2960(-7) = 5260 + 6100 - 20720 = -9360

z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-9360}{-18} = 520

Las potencias efectivas individuales son: Modelo A = $450 W$ , Modelo B = $500 W$ , Modelo C = $520 W$ .

b) Resuelva la ecuación matricial

2X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}^2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Primero, calculamos el cuadrado de la matriz $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ :

M^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \end{pmatrix}

M^2 = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 1 - 1 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora sustituimos $M^2$ en la ecuación original:

2X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Realizamos la multiplicación de la matriz identidad por el vector columna:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 4 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

La ecuación se simplifica a:

2X = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos para $X$ dividiendo por 2:

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1/2 \end{pmatrix}