Matemáticas II

Para que las rectas $r$ y $s$ se corten en un punto, sus vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ no deben ser paralelos y el determinante formado por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$ debe ser igual a cero.Extraemos los puntos y vectores directores de las ecuaciones continuas:

Calculamos el vector $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-2 - 0, -3 - 2, 1 - k) = (-2, -5, 1 - k)$.Como $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$ no son proporcionales ($\frac{1}{-1} \neq \frac{-1}{2}$), las rectas se cortarán si el determinante es nulo:

Desarrollamos el determinante aplicando la regla de Sarrus o por adjuntos de la primera fila:

Si el plano $\pi$ contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$, sus vectores directores serán $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$, y pasará por el punto $P_r$. Para $k = 0$, el punto es $P_r(0, 2, 0)$.El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores de las rectas:

La ecuación general del plano con vector normal $(A, B, C) = (-5, -3, 1)$ que pasa por $P_r(0, 2, 0)$ es:

Sea $N$ el punto donde se encuentra el náufrago, $N=(2,0)$. Sea $P$ un punto cualquiera de la trayectoria del ferry. La trayectoria viene dada por la función $f(x) = \sqrt{x+1}$. Por lo tanto, un punto $P$ de la trayectoria tendrá coordenadas $(x, \sqrt{x+1})$. La distancia $d$ entre el náufrago y el ferry en un punto $P$ viene dada por la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Sustituyendo las coordenadas de $N=(2,0)$ y $P=(x, \sqrt{x+1})$:

Para minimizar la distancia, es equivalente minimizar el cuadrado de la distancia, $d^2(x)$, lo que simplifica los cálculos al eliminar la raíz cuadrada:

Desarrollamos la expresión:

Para encontrar el mínimo de esta función, calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

Para comprobar que se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada:

Dado que $D''(x) = 2 > 0$, el punto $x = 3/2$ corresponde a un mínimo.

Ahora, sustituimos $x = 3/2$ en la ecuación de la trayectoria $f(x) = \sqrt{x+1}$ para encontrar la coordenada $y$ correspondiente:

El punto de la trayectoria más cercano al náufrago es $P\left(\frac{3}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$.

Para calcular la distancia mínima, sustituimos $x = 3/2$ en la función de distancia al cuadrado $D(x)$ y luego calculamos la raíz cuadrada:

La distancia mínima es la raíz cuadrada de $D(3/2)$:

Dada la función $f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}$ definida en el intervalo $(-1, 1)$, comenzamos expresando la función de forma desglosada eliminando el valor absoluto según la definición de $|x|$:

Primero comprobamos la continuidad en $x = 0$, que es el único punto donde la expresión de la función cambia. Los denominadores no se anulan dentro del dominio $(-1, 1)$.

Al ser continua en $x=0$, estudiamos la derivabilidad calculando la derivada en los intervalos abiertos $(-1, 0)$ y $(0, 1)$:

Calculamos las derivadas laterales en $x = 0$ para comprobar si es derivable en dicho punto:

Como $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, la función no es derivable en $x = 0$. Por tanto, el dominio de derivabilidad de $f$ es $(-1, 0) \cup (0, 1)$.

Analizamos el signo de la primera derivada en cada uno de los intervalos de definición:1. En el intervalo $(-1, 0)$, la derivada es $f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2}$. Dado que el denominador $(1+x)^2$ es siempre positivo en su dominio y el numerador es $-2$, entonces $f'(x) < 0$. La función es estrictamente decreciente en $(-1, 0)$.2. En el intervalo $(0, 1)$, la derivada es $f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2}$. Dado que el denominador $(1-x)^2$ es siempre positivo y el numerador es $2$, entonces $f'(x) > 0$. La función es estrictamente creciente en $(0, 1)$.

Para calcular este determinante, utilizaremos las propiedades de linealidad de los determinantes y la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta $|M| = |M^T|$. Observamos que los elementos de las filas corresponden a elementos de las columnas de $M$ (o filas de $M^T$) multiplicados por ciertos factores.

Sacamos factor común $3$ de la segunda fila y $2$ de la tercera fila. Posteriormente, sacamos el factor $2$ de la tercera columna. Para llegar a la estructura de la matriz traspuesta $M^T$, intercambiamos la segunda y la tercera columna, lo que provoca un cambio de signo en el determinante:

Como el determinante de la matriz resultante es $|M^T| = |M| = -5$, el valor final es:

Primero, observamos que la tercera columna es proporcional a una combinación de las dos primeras. Podemos extraer el factor $2$ de la tercera columna:

Aplicamos la propiedad de que el determinante de una suma de filas es la suma de los determinantes (manteniendo las demás filas iguales):

El segundo determinante es cero porque la primera fila es proporcional a la tercera ($R_1 = -3 R_3$). En el primer determinante, extraemos el factor $2$ de la primera fila:

Sustituyendo el valor de $|M| = -5$:

Calculamos el producto $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma:

Igualamos la matriz resultante a la matriz $4I$:

Al igualar los elementos correspondientes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolvemos las ecuaciones más sencillas. De la segunda ecuación: $3a = -3 \implies a = -1$. De la cuarta ecuación: $3b = 3 \implies b = 1$.Comprobamos que estos valores cumplen las otras dos ecuaciones. Para la primera: $(-1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$. Para la tercera: $(-1)(1) + 1 = -1 + 1 = 0$. Por lo tanto, los valores buscados son $a = -1$ y $b = 1$.

Sabemos del apartado anterior que para $a = -1$ y $b = 1$, se cumple que $A^2 = 4I$. Sustituimos esta expresión en la ecuación matricial dada:

Calculamos primero la matriz traspuesta de $B$ intercambiando filas por columnas:

Finalmente, hallamos $X$ multiplicando todos los elementos de $B^t$ por $1/4$:

Para esbozar las gráficas, analizamos las propiedades de las funciones dadas:1. La función $f(x) = -e^x$ es la simétrica de la exponencial $e^x$ respecto al eje $X$. Es una función siempre negativa, estrictamente decreciente, con una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$ y pasa por el punto $(0, -1)$.2. La función $g(x) = -e^{-x}$ es la simétrica de $f(x)$ respecto al eje $Y$. También es siempre negativa, pero estrictamente creciente. Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$ y pasa por el punto $(0, -1)$.Ambas funciones se intersecan en el punto $(0, -1)$ y son simétricas entre sí respecto al eje de ordenadas.

Primero, igualamos las funciones para confirmar el punto de corte:

El área se divide en dos recintos debido al cruce en $x = 0$. Debido a la simetría de las funciones, el área en el intervalo $[-1, 0]$ es igual al área en el intervalo $[0, 1]$. Calcularemos el área total $A$ como el doble del área en el intervalo $[0, 1]$.En el intervalo $[0, 1]$, se observa que $g(x) \ge f(x)$ (ya que $-e^{-1} \approx -0,37$ y $-e^1 \approx -2,72$). Por tanto, la suma de las áreas es:

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow:

El resultado final de la suma de las áreas es:

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de las manzanas en gramos, la cual sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, donde $\mu = 200$ y $\sigma$ es la desviación típica.

Sabemos que $P(X > 230) = 0,33$. Para hallar $\sigma$, tipificamos la variable utilizando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:

Pasamos a la probabilidad acumulada para poder usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$:

Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$, el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0,67$ es aproximadamente $z = 0,44$. Por lo tanto:

Ahora tenemos $X \sim N(200, 50)$. Debemos calcular $P(160 < X < 220)$. Tipificamos los valores:

Calculamos la probabilidad por la propiedad de los intervalos:

Consultando los valores en la tabla de la normal estándar:

Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100. El porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos es del $44,35 \%$.

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$, observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador. Procedemos a realizar la división de polinomios para simplificar la expresión:

De este modo, podemos expresar la integral indefinida $F(x) = \int f(x) dx$ como una suma de integrales más sencillas:

Resolvemos cada término de la integral. El segundo término se ajusta multiplicando y dividiendo por $2$ para obtener la derivada del denominador en el numerador, resultando en un logaritmo neperiano:

Para encontrar la primitiva específica que pasa por el punto $(0, 5)$, imponemos la condición $F(0) = 5$:

Sabiendo que $\ln(1) = 0$ y que $\arctan(0) = 0$:

La función primitiva buscada es:

Dada la definición del valor absoluto, reescribimos la función $f: (-1, 1) \to \mathbb{R}$ por intervalos:

Para la continuidad, analizamos los intervalos abiertos y el punto de unión $x = 0$:En $(-1, 0)$ y $(0, 1)$, la función es continua por ser el cociente de funciones continuas (polinomios) donde el denominador no se anula. En $x = 0$, calculamos los límites laterales:

Como $f(0) = 1$, los límites laterales coinciden con el valor de la función, por lo que $f(x)$ es continua en $(-1, 1)$.Para la derivabilidad, calculamos la derivada en los intervalos abiertos:

Estudiamos la derivabilidad en $x = 0$ comparando las derivadas laterales:

Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función no es derivable en $x = 0$. Por lo tanto, $f$ es derivable en $(-1, 0) \cup (0, 1)$.

Analizamos el crecimiento de la función a partir del signo de su derivada:En $(-1, 0)$, $f'(x) = \frac{-2}{(1 + x)^3}$. Como $1+x$ es siempre positivo en este intervalo, $f'(x) < 0$, luego $f$ es estrictamente decreciente.En $(0, 1)$, $f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^3}$. Como $1-x$ es siempre positivo en este intervalo, $f'(x) > 0$, luego $f$ es estrictamente creciente.Dado que la función decrece hasta $x = 0$ y crece a partir de ahí, y siendo $f$ continua en dicho punto, existe un mínimo absoluto en $x = 0$.El valor del mínimo absoluto es $f(0) = 1$.Para los máximos absolutos, estudiamos el comportamiento en los extremos del dominio:

Puesto que la función tiende a $+\infty$ en los bordes de su dominio, no existen máximos absolutos.

Primero, simplificamos la expresión de la función $f(x)$ utilizando las propiedades de los logaritmos para facilitar el cálculo de su derivada:

Calculamos la derivada de $f(x)$ para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto genérico $a$:

La pendiente de la recta normal a $f$ en $x = a$, denominada $m_n$, es la opuesta de la inversa de la derivada:

Por otro lado, calculamos la derivada de $g(x) = x^3 + 2$ para obtener la pendiente de su recta tangente en $x = a$, denominada $m_t$:

Para que la recta normal a $f$ sea paralela a la recta tangente a $g$, sus pendientes deben ser iguales ($m_n = m_t$):

Resolvemos la ecuación para $a$, teniendo en cuenta que el enunciado indica $a \neq 0$:

Como $a \neq 0$, la única solución válida es:

Este valor $a = -1/6$ pertenece al dominio de la función $f$, ya que $-1 < -1/6 < 0$.

El crecimiento y decrecimiento de $f$ vienen determinados por el signo de su primera derivada en su dominio $D_f = (-1, 0) \cup (0, 1)$: