Matemáticas II

Para hallar el punto de inflexión, primero calculamos las derivadas sucesivas de la función $f(x) = (x - 1)e^x$.

El punto de inflexión ocurre cuando la segunda derivada es cero y la tercera es distinta de cero en ese punto. Resolvemos $f''(x) = 0$:

Calculamos el valor de la función y de la primera derivada en $x = -1$:

El punto de inflexión es $P(-1, -2/e)$. La pendiente de la recta tangente es $m_t = f'(-1) = -1/e$. Aplicamos la fórmula punto-pendiente:

La pendiente de la recta normal es la inversa y opuesta de la tangente, $m_n = -1 / f'(-1) = e$. Su ecuación es:

1. Asíntotas verticales: Como $f(x) = (x - 1)e^x$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ (producto de un polinomio y una exponencial), no tiene asíntotas verticales.2. Asíntotas horizontales: Calculamos los límites en el infinito.En $+\infty$:

No hay asíntota horizontal en $+\infty$.En $-\infty$:

Reescribimos y aplicamos la regla de L'Hôpital:

Por tanto, hay una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$.3. Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$): Al existir asíntota horizontal en $-\infty$, no hay oblicua en esa dirección. Comprobamos en $+\infty$:

Al ser el límite infinito, no existe asíntota oblicua en $+\infty$.

La función $f(x) = (x - 1)^2$ es una parábola con vértice en el punto $(1, 0)$ y ramas hacia arriba. La recta $y = a$ es una recta horizontal situada por encima del eje $X$ puesto que $a > 0$. Para encontrar los puntos de corte entre la parábola y la recta, igualamos ambas expresiones:

Los puntos de intersección son $x_1 = 1 - \sqrt{a}$ y $x_2 = 1 + \sqrt{a}$. El recinto es el área comprendida entre la parábola (límite inferior) y la recta (límite superior) en el intervalo $[1 - \sqrt{a}, 1 + \sqrt{a}]$.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia entre la función superior ($y = a$) y la función inferior ($y = (x - 1)^2$) entre los puntos de corte hallados:

Aplicando el cambio de variable $u = x - 1$, con $du = dx$, y ajustando los límites de integración, obtenemos una integral más sencilla aprovechando la simetría de la función centrada en $x = 1$:

Calculamos la primitiva y evaluamos mediante la Regla de Barrow:

Igualamos el área obtenida al valor dado en el enunciado, que es $\frac{4}{3}$:

Dado que $1 > 0$, el valor buscado para el parámetro es $a = 1$.

Para calcular la integral de la función definida a trozos en el intervalo $[-\frac{\pi}{4}, 1]$, debemos dividirla en dos partes coincidiendo con el valor en el que cambia la definición de la función, que es $x = 0$:

En primer lugar, resolvemos la integral indefinida $\int x \text{ sen}(2x) dx$ utilizando el método de integración por partes. Tomamos $u = x$ y $dv = \text{ sen}(2x) dx$, de donde se sigue que $du = dx$ y $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$:

Aplicamos la regla de Barrow para la primera parte de la integral definida entre $-\frac{\pi}{4}$ y $0$:

Resolvemos ahora la segunda parte de la integral, correspondiente al intervalo $(0, 1]$:

Sumamos los resultados de ambas partes para obtener el valor final de la integral solicitada:

El área de un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$ se puede calcular mediante la mitad del módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$:

Primero, determinamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ a partir de las coordenadas de los puntos $A(3, -1, 1)$, $B(1, 3, -3)$ y $C(-2, -2, 1)$:

Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

Hallamos el módulo de este vector:

Finalmente, el área del triángulo es:

Un punto $D$ perteneciente al eje $OZ$ tiene coordenadas de la forma $D(0, 0, z)$. El volumen de un tetraedro se define como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$:

Calculamos el vector $\vec{AD}$:

El producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ se puede calcular como el producto escalar del vector $(\vec{AB} \times \vec{AC})$, ya obtenido anteriormente, por el vector $\vec{AD}$:

Aplicamos la condición del volumen:

Esto genera dos posibles ecuaciones:1) $10 + 22z = 120 \implies 22z = 110 \implies z = 5$. El primer punto es $D_1(0, 0, 5)$.2) $10 + 22z = -120 \implies 22z = -130 \implies z = -\frac{130}{22} = -\frac{65}{11}$. El segundo punto es $D_2(0, 0, -\frac{65}{11})$.

Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P(1, 0, 1)$ respecto al plano $\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0$, primero determinamos la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$. El vector director de esta recta es el vector normal del plano, $\vec{n} = (2, 1, 2)$.

Calculamos el punto de intersección $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre el plano) sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano:

Sustituimos $t = -1$ en las ecuaciones de la recta para obtener $M$:

Como $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple la relación $P' = 2M - P$:

Cualquier plano paralelo a $\pi$ tiene la forma $\pi' \equiv 2x + y + 2z + D = 0$. La distancia entre dos planos paralelos de la forma $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula:

Igualamos esta distancia a $2$ con los datos de nuestro plano ($A=2, B=1, C=2$ y $D_1=5$):

Esto genera dos posibles ecuaciones dependiendo del valor absoluto:

Por lo tanto, los dos planos paralelos que cumplen la condición son:

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Procedemos a calcular el determinante de la matriz $A$:

Aplicando la regla de Sarrus para desarrollar el determinante:

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $\alpha$:

Esto nos da una primera solución $\alpha = 0$. Resolvemos ahora la ecuación de segundo grado $\alpha^2 - 2\alpha - 8 = 0$:

Obtenemos los valores $\alpha = 4$ y $\alpha = -2$. Por tanto, la matriz $A$ admite inversa para todos los valores de $\alpha$ excepto para $\alpha \in \{-2, 0, 4\}$.

Puesto que $\alpha = 1$ no es una de las raíces del determinante calculadas en el apartado anterior, la matriz $A$ admite inversa. Sustituimos el valor $\alpha = 1$ en la matriz y calculamos el valor de su determinante:

Calculamos la matriz de los adjuntos $\text{Adj}(A)$ calculando los menores correspondientes:

La matriz inversa $A^{-1}$ se obtiene mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$:

Definimos la variable aleatoria $X$ como el diámetro de las bolas en milímetros. En condiciones ideales, la variable sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ con $\mu = 13$ y $\sigma = 0,1$. El rango óptimo para el rodamiento es el intervalo $[12,9, 13,15]$.

Calculamos la probabilidad $P(12,9 \leq X \leq 13,15)$ estandarizando la variable mediante el cambio $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 13}{0,1}$:

Aplicamos la propiedad de simetría de la distribución normal $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$:

Buscando los valores en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtenemos $P(Z \leq 1,5) = 0,9332$ y $P(Z \leq 1) = 0,8413$:

La probabilidad de obtener una pieza óptima en condiciones ideales es de $0,7745$ (o $77,45\%$).

El $15$ de julio, debido al fallo de refrigeración, la variable sigue una distribución $Y \sim N(12,9, 0,2)$. Procedemos a calcular la probabilidad en el mismo rango óptimo estandarizando con $Z = \frac{Y - 12,9}{0,2}$:

Buscando en la tabla de la normal estándar los valores $P(Z \leq 1,25) = 0,8944$ y sabiendo que $P(Z \leq 0) = 0,5$:

La probabilidad de obtener una pieza óptima bajo estas condiciones es de $0,3944$ (o $39,44\%$).

Para estudiar la derivabilidad en el intervalo $[0, 2]$, primero analizamos la continuidad en el punto de unión $x = 1$. En los intervalos $(0, 1)$ y $(1, 2)$, la función es continua por estar definida mediante funciones elementales (exponencial y polinómica).

Puesto que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la función es continua en $x = 1$. Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad calculando la función derivada en los puntos genéricos del intervalo:

Para determinar si es derivable en $x = 1$, calculamos las derivadas laterales mediante los límites de la función derivada:

Dado que las derivadas laterales existen pero son distintas ($f'(1^-) \neq f'(1^+)$), la función no es derivable en $x = 1$. Por lo tanto, $f$ es derivable en el conjunto $(0, 1) \cup (1, 2)$.

Como la función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$, el teorema de Weierstrass asegura que alcanza un máximo y un mínimo absoluto. Los puntos candidatos a ser extremos absolutos son:

Evaluamos la función en estos tres puntos candidatos:

Comparando los valores obtenidos, determinamos los extremos absolutos:El mínimo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 1$ con un valor de $f(1) = 1 - e$.El máximo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 2$ con un valor de $f(2) = 3 - e$.

Para resolver la integral $\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx$, utilizaremos el cambio de variable propuesto $t = x^2 - 3$.Primero, calculamos el diferencial de la nueva variable derivando respecto a $x$:

A continuación, determinamos los nuevos límites de integración para la variable $t$:Si el límite inferior es $x = \sqrt{3}$, entonces $t = (\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$.Si el límite superior es $x = 2$, entonces $t = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.Expresamos el denominador de la función en términos de la variable $t$ completando el cuadrado o mediante sustitución directa:

Sustituimos todos los elementos transformados en la integral original:

Resolvemos la integral, que resulta en una función arcotangente, y aplicamos la regla de Barrow:

Finalmente, evaluamos en los límites de integración y simplificamos el resultado:

Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$:

Factorizamos la ecuación utilizando la regla de Ruffini o agrupando términos: $x^2(x + 1) - (x + 1) = 0$, lo que nos da $(x^2 - 1)(x + 1) = 0$. Esto se descompone como:

Las soluciones para las abscisas son $x = 1$ y $x = -1$ (siendo esta última una raíz doble). Los valores que se alcanzan en estos puntos son:Si $x = 1$, $g(1) = -(1)^2 + 1 = 0$. El punto de corte es $(1, 0)$.Si $x = -1$, $g(-1) = -(-1)^2 + 1 = 0$. El punto de corte es $(-1, 0)$.Para el esbozo del recinto, observamos que $f(x) = x(x-1)(x+1)$ es una función polinómica de tercer grado que pasa por $(-1,0)$, $(0,0)$ y $(1,0)$. Por otro lado, $g(x) = -x^2 + 1$ es una parábola con vértice en $(0,1)$ y cortes con el eje $X$ en $(-1,0)$ y $(1,0)$. En el intervalo $(-1, 1)$, la parábola se encuentra por encima de la función cúbica (por ejemplo, en $x=0$, $g(0)=1 > f(0)=0$).