T5: Integrales · Integral definida — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Integral definida

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 3.

Calcula el valor de $k$ para que

\int_{1}^{3} e^{x-k}(x - 2) dx = 2

Integral definidaIntegración por partesParámetros

Resolución del ejercicio de cálculo integral

Para resolver la ecuación planteada, primero simplificamos la integral. Observamos que $e^{x-k}$ se puede escribir como $e^x \cdot e^{-k}$ . Al ser $e^{-k}$ una constante respecto a la variable de integración $x$ , podemos extraerla de la integral:

e^{-k} \int_{1}^{3} (x - 2) e^x dx = 2

Calculamos la integral indefinida $\int (x - 2) e^x dx$ utilizando el método de integración por partes, donde definimos:

u = x - 2 \implies du = dx

dv = e^x dx \implies v = e^x

Aplicando la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ :

\int (x - 2) e^x dx = (x - 2)e^x - \int e^x dx = (x - 2)e^x - e^x = (x - 3)e^x

A continuación, evaluamos la integral definida entre los límites $1$ y $3$ aplicando la Regla de Barrow:

\int_{1}^{3} (x - 2) e^x dx = \left[ (x - 3) e^x \right]_{1}^{3} = (3 - 3)e^3 - (1 - 3)e^1

0 - (-2)e = 2e

Sustituimos el valor obtenido de la integral en la ecuación original:

e^{-k} \cdot 2e = 2

Utilizando las propiedades de las potencias para agrupar los términos con base $e$ :

2 e^{1-k} = 2

Dividiendo ambos miembros por $2$ , obtenemos:

e^{1-k} = 1

Puesto que cualquier número distinto de cero elevado a cero es igual a $1$ ( $e^0 = 1$ ), igualamos el exponente a cero para hallar el valor de $k$ :

1 - k = 0 \implies k = 1