T1: Matrices y determinantes · Determinantes — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Determinantes

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

Se considera la matriz $M = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ con determinante igual a $-5$ .

a) Calcula

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}

.b) Calcula

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}

Propiedades de los determinantesÁlgebra matricial

a) Calcula

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix}

Para calcular este determinante, utilizaremos las propiedades de linealidad de los determinantes y la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al de su traspuesta $|M| = |M^T|$ . Observamos que los elementos de las filas corresponden a elementos de las columnas de $M$ (o filas de $M^T$ ) multiplicados por ciertos factores.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ 3a_{12} & 3a_{32} & 6a_{22} \\ 2a_{13} & 2a_{33} & 4a_{23} \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & 2a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & 2a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & 2a_{23} \end{vmatrix} = 6 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix}

Sacamos factor común $3$ de la segunda fila y $2$ de la tercera fila. Posteriormente, sacamos el factor $2$ de la tercera columna. Para llegar a la estructura de la matriz traspuesta $M^T$ , intercambiamos la segunda y la tercera columna, lo que provoca un cambio de signo en el determinante:

12 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{31} & a_{21} \\ a_{12} & a_{32} & a_{22} \\ a_{13} & a_{33} & a_{23} \end{vmatrix} \xrightarrow{C_2 \leftrightarrow C_3} -12 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

Como el determinante de la matriz resultante es $|M^T| = |M| = -5$ , el valor final es:

-12 \cdot (-5) = 60

b) Calcula

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 4a_{13} - 6a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}

Primero, observamos que la tercera columna es proporcional a una combinación de las dos primeras. Podemos extraer el factor $2$ de la tercera columna:

\begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2(2a_{13} - 3a_{33}) \\ a_{21} & a_{22} & 2a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2a_{11} - 3a_{31} & 2a_{12} - 3a_{32} & 2a_{13} - 3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

Aplicamos la propiedad de que el determinante de una suma de filas es la suma de los determinantes (manteniendo las demás filas iguales):

2 \left( \begin{vmatrix} 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3a_{31} & -3a_{32} & -3a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \right)

El segundo determinante es cero porque la primera fila es proporcional a la tercera ( $R_1 = -3 R_3$ ). En el primer determinante, extraemos el factor $2$ de la primera fila:

2 \cdot 2 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = 4 \cdot |M|

Sustituyendo el valor de $|M| = -5$ :

4 \cdot (-5) = -20