T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Determina

a

b

para que

A^2 = 4I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.b) Para

a = -1

b = 1

, calcula, si es posible, la matriz

X

que cumple

A^2 X = B^t

MatricesEcuación matricialMatriz traspuesta

a) Determina

a

b

para que

A^2 = 4I

, donde

I

es la matriz identidad de orden 2.

Calculamos el producto $A^2$ realizando el producto de la matriz $A$ por sí misma:

A^2 = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix}

Igualamos la matriz resultante a la matriz $4I$ :

\begin{pmatrix} a^2 + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

Al igualar los elementos correspondientes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} a^2 + 3b = 4 \\ 3a + 3 = 0 \\ ab + b = 0 \\ 3b + 1 = 4 \end{cases}

Resolvemos las ecuaciones más sencillas. De la segunda ecuación: $3a = -3 \implies a = -1$ . De la cuarta ecuación: $3b = 3 \implies b = 1$ .Comprobamos que estos valores cumplen las otras dos ecuaciones. Para la primera: $(-1)^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$ . Para la tercera: $(-1)(1) + 1 = -1 + 1 = 0$ . Por lo tanto, los valores buscados son $a = -1$ y $b = 1$ .

b) Para

a = -1

b = 1

, calcula, si es posible, la matriz

X

que cumple

A^2 X = B^t

Sabemos del apartado anterior que para $a = -1$ y $b = 1$ , se cumple que $A^2 = 4I$ . Sustituimos esta expresión en la ecuación matricial dada:

4I X = B^t \implies 4X = B^t \implies X = \frac{1}{4} B^t

Calculamos primero la matriz traspuesta de $B$ intercambiando filas por columnas:

B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, hallamos $X$ multiplicando todos los elementos de $B^t$ por $1/4$ :

X = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/4 & -1/4 & 1/4 \\ 1/4 & 1/2 & 1/4 \end{pmatrix}