T6: Distribución binomial y normal

Distribución normal

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media 200 gramos y desviación típica desconocida.

a) Si el

33 \%

de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.b) Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos.

ProbabilidadDistribución NormalInferencia estadística

Distribución Normal de los pesos de manzanas

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de las manzanas en gramos, la cual sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$ , donde $\mu = 200$ y $\sigma$ es la desviación típica.

a) Si el

33 \%

de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica del peso de las manzanas.

Sabemos que $P(X > 230) = 0,33$ . Para hallar $\sigma$ , tipificamos la variable utilizando $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ :

P\left( Z > \frac{230 - 200}{\sigma} \right) = 0,33 \implies P\left( Z > \frac{30}{\sigma} \right) = 0,33

Pasamos a la probabilidad acumulada para poder usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ :

1 - P\left( Z \le \frac{30}{\sigma} \right) = 0,33 \implies P\left( Z \le \frac{30}{\sigma} \right) = 1 - 0,33 = 0,67

Buscando en la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$ , el valor de $z$ que corresponde a una probabilidad de $0,67$ es aproximadamente $z = 0,44$ . Por lo tanto:

\frac{30}{\sigma} = 0,44 \implies \sigma = \frac{30}{0,44} \approx 68,18 \text{ gramos}

b) Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos.

Ahora tenemos $X \sim N(200, 50)$ . Debemos calcular $P(160 < X < 220)$ . Tipificamos los valores:

P(160 < X < 220) = P\left( \frac{160 - 200}{50} < Z < \frac{220 - 200}{50} \right)

P\left( \frac{-40}{50} < Z < \frac{20}{50} \right) = P(-0,8 < Z < 0,4)

Calculamos la probabilidad por la propiedad de los intervalos:

P(Z < 0,4) - P(Z < -0,8) = P(Z < 0,4) - [1 - P(Z < 0,8)]

Consultando los valores en la tabla de la normal estándar:

0,6554 - (1 - 0,7881) = 0,6554 - 0,2119 = 0,4435

Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100. El porcentaje de manzanas que pesan entre 160 y 220 gramos es del $44,35 \%$ .