Integrales

Para esbozar las gráficas, analizamos las propiedades de las funciones dadas:1. La función $f(x) = -e^x$ es la simétrica de la exponencial $e^x$ respecto al eje $X$. Es una función siempre negativa, estrictamente decreciente, con una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$ y pasa por el punto $(0, -1)$.2. La función $g(x) = -e^{-x}$ es la simétrica de $f(x)$ respecto al eje $Y$. También es siempre negativa, pero estrictamente creciente. Tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to +\infty$ y pasa por el punto $(0, -1)$.Ambas funciones se intersecan en el punto $(0, -1)$ y son simétricas entre sí respecto al eje de ordenadas.

Primero, igualamos las funciones para confirmar el punto de corte:

El área se divide en dos recintos debido al cruce en $x = 0$. Debido a la simetría de las funciones, el área en el intervalo $[-1, 0]$ es igual al área en el intervalo $[0, 1]$. Calcularemos el área total $A$ como el doble del área en el intervalo $[0, 1]$.En el intervalo $[0, 1]$, se observa que $g(x) \ge f(x)$ (ya que $-e^{-1} \approx -0,37$ y $-e^1 \approx -2,72$). Por tanto, la suma de las áreas es:

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow:

El resultado final de la suma de las áreas es:

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$, observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador. Procedemos a realizar la división de polinomios para simplificar la expresión:

De este modo, podemos expresar la integral indefinida $F(x) = \int f(x) dx$ como una suma de integrales más sencillas:

Resolvemos cada término de la integral. El segundo término se ajusta multiplicando y dividiendo por $2$ para obtener la derivada del denominador en el numerador, resultando en un logaritmo neperiano:

Para encontrar la primitiva específica que pasa por el punto $(0, 5)$, imponemos la condición $F(0) = 5$:

Sabiendo que $\ln(1) = 0$ y que $\arctan(0) = 0$:

La función primitiva buscada es:

Para hallar una primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$, primero calculamos la integral indefinida. Observamos que el denominador es un trinomio de segundo grado con discriminante negativo, por lo que completamos el cuadrado para obtener una forma de arcotangente:

Sustituyendo en la integral, tenemos:

Utilizando la fórmula de la derivada de la función arcotangente, obtenemos la familia de primitivas:

Para determinar la constante $C$, aplicamos la condición de que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(0, \frac{\pi}{4})$, es decir, $F(0) = \frac{\pi}{4}$:

Despejando la constante de integración, resulta $C = 0$.Por lo tanto, la primitiva de la función $f(x)$ que cumple la condición dada es:

Para resolver la ecuación planteada, primero simplificamos la integral. Observamos que $e^{x-k}$ se puede escribir como $e^x \cdot e^{-k}$. Al ser $e^{-k}$ una constante respecto a la variable de integración $x$, podemos extraerla de la integral:

Calculamos la integral indefinida $\int (x - 2) e^x dx$ utilizando el método de integración por partes, donde definimos:

Aplicando la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

A continuación, evaluamos la integral definida entre los límites $1$ y $3$ aplicando la Regla de Barrow:

Sustituimos el valor obtenido de la integral en la ecuación original:

Utilizando las propiedades de las potencias para agrupar los términos con base $e$:

Dividiendo ambos miembros por $2$, obtenemos:

Puesto que cualquier número distinto de cero elevado a cero es igual a $1$ ($e^0 = 1$), igualamos el exponente a cero para hallar el valor de $k$:

La función $f(x) = (x - 1)^2$ es una parábola con vértice en el punto $(1, 0)$ y ramas hacia arriba. La recta $y = a$ es una recta horizontal situada por encima del eje $X$ puesto que $a > 0$. Para encontrar los puntos de corte entre la parábola y la recta, igualamos ambas expresiones:

Los puntos de intersección son $x_1 = 1 - \sqrt{a}$ y $x_2 = 1 + \sqrt{a}$. El recinto es el área comprendida entre la parábola (límite inferior) y la recta (límite superior) en el intervalo $[1 - \sqrt{a}, 1 + \sqrt{a}]$.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia entre la función superior ($y = a$) y la función inferior ($y = (x - 1)^2$) entre los puntos de corte hallados:

Aplicando el cambio de variable $u = x - 1$, con $du = dx$, y ajustando los límites de integración, obtenemos una integral más sencilla aprovechando la simetría de la función centrada en $x = 1$:

Calculamos la primitiva y evaluamos mediante la Regla de Barrow:

Igualamos el área obtenida al valor dado en el enunciado, que es $\frac{4}{3}$:

Dado que $1 > 0$, el valor buscado para el parámetro es $a = 1$.

Para calcular la integral de la función definida a trozos en el intervalo $[-\frac{\pi}{4}, 1]$, debemos dividirla en dos partes coincidiendo con el valor en el que cambia la definición de la función, que es $x = 0$:

En primer lugar, resolvemos la integral indefinida $\int x \text{ sen}(2x) dx$ utilizando el método de integración por partes. Tomamos $u = x$ y $dv = \text{ sen}(2x) dx$, de donde se sigue que $du = dx$ y $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$:

Aplicamos la regla de Barrow para la primera parte de la integral definida entre $-\frac{\pi}{4}$ y $0$:

Resolvemos ahora la segunda parte de la integral, correspondiente al intervalo $(0, 1]$:

Sumamos los resultados de ambas partes para obtener el valor final de la integral solicitada:

Para resolver la integral $\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx$, utilizaremos el cambio de variable propuesto $t = x^2 - 3$.Primero, calculamos el diferencial de la nueva variable derivando respecto a $x$:

A continuación, determinamos los nuevos límites de integración para la variable $t$:Si el límite inferior es $x = \sqrt{3}$, entonces $t = (\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$.Si el límite superior es $x = 2$, entonces $t = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.Expresamos el denominador de la función en términos de la variable $t$ completando el cuadrado o mediante sustitución directa:

Sustituimos todos los elementos transformados en la integral original:

Resolvemos la integral, que resulta en una función arcotangente, y aplicamos la regla de Barrow:

Finalmente, evaluamos en los límites de integración y simplificamos el resultado:

Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$:

Factorizamos la ecuación utilizando la regla de Ruffini o agrupando términos: $x^2(x + 1) - (x + 1) = 0$, lo que nos da $(x^2 - 1)(x + 1) = 0$. Esto se descompone como:

Las soluciones para las abscisas son $x = 1$ y $x = -1$ (siendo esta última una raíz doble). Los valores que se alcanzan en estos puntos son:Si $x = 1$, $g(1) = -(1)^2 + 1 = 0$. El punto de corte es $(1, 0)$.Si $x = -1$, $g(-1) = -(-1)^2 + 1 = 0$. El punto de corte es $(-1, 0)$.Para el esbozo del recinto, observamos que $f(x) = x(x-1)(x+1)$ es una función polinómica de tercer grado que pasa por $(-1,0)$, $(0,0)$ y $(1,0)$. Por otro lado, $g(x) = -x^2 + 1$ es una parábola con vértice en $(0,1)$ y cortes con el eje $X$ en $(-1,0)$ y $(1,0)$. En el intervalo $(-1, 1)$, la parábola se encuentra por encima de la función cúbica (por ejemplo, en $x=0$, $g(0)=1 > f(0)=0$).

El área del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo limitado por sus puntos de corte $[-1, 1]$. Como $g(x) \ge f(x)$ en dicho intervalo, planteamos:

Simplificamos la expresión e integramos:

Aplicamos la Regla de Barrow:

Por lo tanto, el área del recinto es $\frac{4}{3} \text{ unidades}^2$.

Para hallar la función f(x), debemos integrar sucesivamente la segunda derivada proporcionada. Primero, calculamos la primera derivada integrando f''(x):

Dado que el dominio de la función es (0, +\infty), podemos prescindir del valor absoluto en el logaritmo. Procedemos a realizar la segunda integración para hallar f(x):

La integral del logaritmo natural se resuelve mediante el método de integración por partes:

Sustituimos este resultado en la expresión general de f(x) y agrupamos las constantes:

Para simplificar la expresión, redefinimos las constantes constantes como C = 1 + C_1 y D = C_2:

Utilizamos el punto (1, 0) para establecer la primera condición:

Utilizamos el punto (2, e - 2 - 2 \ln 2) para establecer la segunda condición:

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales resultante para determinar C y D:

Sustituyendo los valores hallados en la expresión de f(x), obtenemos la función buscada:

Para calcular la integral de la función $f(x)$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$, debemos descomponer la integral en dos sumandos, ya que la definición de la función cambia en el punto $x = 0$:

Resolvemos la primera integral, correspondiente al tramo $x \le 0$, hallando su primitiva de forma directa:

Para la segunda integral, correspondiente al tramo $x > 0$, aplicamos el método de integración por partes. Definimos $u = x$ y $dv = \cos(x) dx$, de donde obtenemos $du = dx$ y $v = \sin(x)$. La fórmula de integración por partes $\int u dv = uv - \int v du$ nos da:

Evaluamos ahora la integral definida en los límites $0$ y $\pi$:

Finalmente, sumamos los resultados obtenidos en ambos intervalos para obtener el valor total de la integral definida:

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = (x - 1)^2 \ln \frac{\sqrt{x - 1}}{2}$, calculamos primero su integral indefinida. Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable $x - 1 = t^2$, lo que implica $dx = 2t dt$ y $\sqrt{x - 1} = t$.

Para resolver la integral resultante en $t$, utilizamos el método de integración por partes:

Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

Deshacemos el cambio de variable sustituyendo $t^6 = (x-1)^3$ y $t = \sqrt{x-1}$:

Se nos indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(5, -7/2)$, lo que significa que $F(5) = -7/2$:

La primitiva buscada es:

Para hallar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4}$, necesitamos calcular el valor de la función $f(\frac{\pi}{4})$ y el valor de su derivada $f'(\frac{\pi}{4})$.Primero, calculamos el valor de la ordenada $f(\frac{\pi}{4})$ integrando la función. Observamos que la integral es de tipo casi inmediata, donde la derivada de $\text{sen}(t)$ es $\cos(t)$:

Sabiendo que $\text{sen}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\text{sen}(0) = 0$:

A continuación, calculamos la derivada de la función utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Dado que $f(x) = \int_0^x \cos(t) \text{sen}^2(t) dt$, la derivada es simplemente el integrando evaluado en el límite superior:

Calculamos la pendiente de la recta tangente $m_t$ evaluando en $x = \frac{\pi}{4}$:

La ecuación de la recta tangente en el punto $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{12})$ mediante la fórmula punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ es:

La pendiente de la recta normal $m_n$ es el valor recíproco y opuesto de la pendiente de la tangente:

Finalmente, la ecuación de la recta normal en el mismo punto es:

En primer lugar, simplificamos la expresión de la integral extrayendo factor común en el denominador:

Siguiendo la sugerencia, aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt{1 + e^x}$. Para hallar el diferencial $dx$, elevamos al cuadrado y derivamos:

Sustituimos en la integral original:

Para resolver esta integral, descomponemos la fracción en fracciones simples:

Utilizamos el método de coeficientes indeterminados: $1 = A(t+1) + B(t-1)$. Si evaluamos en $t=1$ obtenemos $A=1/2$, y en $t=-1$ obtenemos $B=-1/2$. Integramos:

Aplicamos las propiedades de los logaritmos y deshacemos el cambio de variable inicial ($t = \sqrt{1 + e^x}$):