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T5: Integrales
Aplicaciones de la integral
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
3
Examen

Sean las funciones f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas por f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x y g(x)=−x2+1g(x) = -x^2 + 1.

a) Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.b) Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de ff y gg.
Área entre funcionesPuntos de corteEsbozo de gráficas
a) Halla los puntos de corte (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones f(x)=g(x)f(x) = g(x):

x3−x=−x2+1  ⟹  x3+x2−x−1=0x^3 - x = -x^2 + 1 \implies x^3 + x^2 - x - 1 = 0

Factorizamos la ecuación utilizando la regla de Ruffini o agrupando términos: x2(x+1)−(x+1)=0x^2(x + 1) - (x + 1) = 0, lo que nos da (x2−1)(x+1)=0(x^2 - 1)(x + 1) = 0. Esto se descompone como:

(x−1)(x+1)2=0(x - 1)(x + 1)^2 = 0

Las soluciones para las abscisas son x=1x = 1 y x=−1x = -1 (siendo esta última una raíz doble). Los valores que se alcanzan en estos puntos son:Si x=1x = 1, g(1)=−(1)2+1=0g(1) = -(1)^2 + 1 = 0. El punto de corte es (1,0)(1, 0).Si x=−1x = -1, g(−1)=−(−1)2+1=0g(-1) = -(-1)^2 + 1 = 0. El punto de corte es (−1,0)(-1, 0).Para el esbozo del recinto, observamos que f(x)=x(x−1)(x+1)f(x) = x(x-1)(x+1) es una función polinómica de tercer grado que pasa por (−1,0)(-1,0), (0,0)(0,0) y (1,0)(1,0). Por otro lado, g(x)=−x2+1g(x) = -x^2 + 1 es una parábola con vértice en (0,1)(0,1) y cortes con el eje XX en (−1,0)(-1,0) y (1,0)(1,0). En el intervalo (−1,1)(-1, 1), la parábola se encuentra por encima de la función cúbica (por ejemplo, en x=0x=0, g(0)=1>f(0)=0g(0)=1 > f(0)=0).

b) Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de ff y gg.

El área del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones en el intervalo limitado por sus puntos de corte [−1,1][-1, 1]. Como g(x)≥f(x)g(x) \ge f(x) en dicho intervalo, planteamos:

A=∫−11[g(x)−f(x)] dx=∫−11[(−x2+1)−(x3−x)] dxA = \int_{-1}^{1} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{-1}^{1} [(-x^2 + 1) - (x^3 - x)] \, dx

Simplificamos la expresión e integramos:

A=∫−11(−x3−x2+x+1) dx=[−x44−x33+x22+x]−11A = \int_{-1}^{1} (-x^3 - x^2 + x + 1) \, dx = \left[ -\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1}

Aplicamos la Regla de Barrow:

A=(−14−13+12+1)−(−(−1)44−(−1)33+(−1)22+(−1))A = \left( -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + (-1) \right)
A=(−3−4+6+1212)−(−14+13+12−1)=1112−(−3+4+6−1212)A = \left( \frac{-3 - 4 + 6 + 12}{12} \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{11}{12} - \left( \frac{-3 + 4 + 6 - 12}{12} \right)
A=1112−(−512)=1612=43A = \frac{11}{12} - \left( -\frac{5}{12} \right) = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}

Por lo tanto, el área del recinto es 43 unidades2\frac{4}{3} \text{ unidades}^2.