T5: Integrales · Integración por partes — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Integración por partes

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

EJERCICIO 4

Halla

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx

IntegralesIntegración por partesIntegral definida

Resolución de la integral definida

Para resolver la integral $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx$ , calcularemos primero la integral indefinida utilizando el método de integración por partes.

\int u \, dv = uv - \int v \, du

Sea $I = \int e^x \cos(x) \, dx$ . Realizamos la primera elección de variables:

\begin{aligned} u &= \cos(x) \implies du = -\sin(x) \, dx \\ dv &= e^x \, dx \implies v = e^x \end{aligned}

Aplicando la fórmula, obtenemos:

I = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx

Aplicamos de nuevo integración por partes a la nueva integral, con $u = \sin(x)$ y $dv = e^x \, dx$ :

\begin{aligned} u &= \sin(x) \implies du = \cos(x) \, dx \\ dv &= e^x \, dx \implies v = e^x \end{aligned}

Sustituimos en la expresión de $I$ :

I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx

Observamos que ha vuelto a aparecer la integral original $I$ , por lo que despejamos:

I = e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I \implies 2I = e^x(\cos(x) + \sin(x))

La primitiva es:

\int e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^x(\cos(x) + \sin(x))}{2} + C

Finalmente, aplicamos la Regla de Barrow para calcular la integral definida en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$ :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx = \left[ \frac{e^x(\cos(x) + \sin(x))}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

Evaluamos en los límites superior e inferior:

\left( \frac{e^{\frac{\pi}{2}}(\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}))}{2} \right) - \left( \frac{e^{0}(\cos(0) + \sin(0))}{2} \right)

Como $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ , $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ , $\cos(0) = 1$ y $\sin(0) = 0$ , tenemos:

\frac{e^{\frac{\pi}{2}}(0 + 1)}{2} - \frac{1(1 + 0)}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}