Cálculo de la integral indefinida
Para hallar la primitiva de la función f ( x ) = ( x − 1 ) 2 ln x − 1 2 f(x) = (x - 1)^2 \ln \frac{\sqrt{x - 1}}{2} f ( x ) = ( x − 1 ) 2 ln 2 x − 1 , calculamos primero su integral indefinida. Siguiendo la sugerencia del enunciado, aplicamos el cambio de variable x − 1 = t 2 x - 1 = t^2 x − 1 = t 2 , lo que implica d x = 2 t d t dx = 2t dt d x = 2 t d t y x − 1 = t \sqrt{x - 1} = t x − 1 = t .
∫ ( x − 1 ) 2 ln ( x − 1 2 ) d x = ∫ ( t 2 ) 2 ln ( t 2 ) 2 t d t = ∫ 2 t 5 ln ( t 2 ) d t \int (x - 1)^2 \ln \left( \frac{\sqrt{x - 1}}{2} \right) dx = \int (t^2)^2 \ln \left( \frac{t}{2} \right) 2t \, dt = \int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) dt ∫ ( x − 1 ) 2 ln ( 2 x − 1 ) d x = ∫ ( t 2 ) 2 ln ( 2 t ) 2 t d t = ∫ 2 t 5 ln ( 2 t ) d t Integración por partes
Para resolver la integral resultante en t t t , utilizamos el método de integración por partes:
u = ln ( t 2 ) ⟹ d u = 1 t d t u = \ln \left( \frac{t}{2} \right) \implies du = \frac{1}{t} dt u = ln ( 2 t ) ⟹ d u = t 1 d t d v = 2 t 5 d t ⟹ v = 2 t 6 6 = t 6 3 dv = 2t^5 dt \implies v = \frac{2t^6}{6} = \frac{t^6}{3} d v = 2 t 5 d t ⟹ v = 6 2 t 6 = 3 t 6 Aplicando la fórmula ∫ u d v = u v − ∫ v d u \int u \, dv = uv - \int v \, du ∫ u d v = uv − ∫ v d u :
∫ 2 t 5 ln ( t 2 ) d t = t 6 3 ln ( t 2 ) − ∫ t 6 3 ⋅ 1 t d t = t 6 3 ln ( t 2 ) − 1 3 ∫ t 5 d t \int 2t^5 \ln \left( \frac{t}{2} \right) dt = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \int \frac{t^6}{3} \cdot \frac{1}{t} dt = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{1}{3} \int t^5 dt ∫ 2 t 5 ln ( 2 t ) d t = 3 t 6 ln ( 2 t ) − ∫ 3 t 6 ⋅ t 1 d t = 3 t 6 ln ( 2 t ) − 3 1 ∫ t 5 d t t 6 3 ln ( t 2 ) − 1 3 ⋅ t 6 6 + C = t 6 3 ln ( t 2 ) − t 6 18 + C \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{1}{3} \cdot \frac{t^6}{6} + C = \frac{t^6}{3} \ln \left( \frac{t}{2} \right) - \frac{t^6}{18} + C 3 t 6 ln ( 2 t ) − 3 1 ⋅ 6 t 6 + C = 3 t 6 ln ( 2 t ) − 18 t 6 + C Deshacemos el cambio de variable sustituyendo t 6 = ( x − 1 ) 3 t^6 = (x-1)^3 t 6 = ( x − 1 ) 3 y t = x − 1 t = \sqrt{x-1} t = x − 1 :
F ( x ) = ( x − 1 ) 3 3 ln ( x − 1 2 ) − ( x − 1 ) 3 18 + C F(x) = \frac{(x-1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x-1}}{2} \right) - \frac{(x-1)^3}{18} + C F ( x ) = 3 ( x − 1 ) 3 ln ( 2 x − 1 ) − 18 ( x − 1 ) 3 + C Determinación de la constante
Se nos indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto ( 5 , − 7 / 2 ) (5, -7/2) ( 5 , − 7/2 ) , lo que significa que F ( 5 ) = − 7 / 2 F(5) = -7/2 F ( 5 ) = − 7/2 :
F ( 5 ) = ( 5 − 1 ) 3 3 ln ( 5 − 1 2 ) − ( 5 − 1 ) 3 18 + C = − 7 2 F(5) = \frac{(5-1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{5-1}}{2} \right) - \frac{(5-1)^3}{18} + C = -\frac{7}{2} F ( 5 ) = 3 ( 5 − 1 ) 3 ln ( 2 5 − 1 ) − 18 ( 5 − 1 ) 3 + C = − 2 7 64 3 ln ( 1 ) − 64 18 + C = − 7 2 ⟹ 0 − 32 9 + C = − 7 2 \frac{64}{3} \ln(1) - \frac{64}{18} + C = -\frac{7}{2} \implies 0 - \frac{32}{9} + C = -\frac{7}{2} 3 64 ln ( 1 ) − 18 64 + C = − 2 7 ⟹ 0 − 9 32 + C = − 2 7 C = 32 9 − 7 2 = 64 − 63 18 = 1 18 C = \frac{32}{9} - \frac{7}{2} = \frac{64 - 63}{18} = \frac{1}{18} C = 9 32 − 2 7 = 18 64 − 63 = 18 1 Solución final
La primitiva buscada es:
F ( x ) = ( x − 1 ) 3 3 ln ( x − 1 2 ) − ( x − 1 ) 3 18 + 1 18 F(x) = \frac{(x-1)^3}{3} \ln \left( \frac{\sqrt{x-1}}{2} \right) - \frac{(x-1)^3}{18} + \frac{1}{18} F ( x ) = 3 ( x − 1 ) 3 ln ( 2 x − 1 ) − 18 ( x − 1 ) 3 + 18 1 
