T5: Integrales · Integral definida — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Integral definida

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

Considera la función

f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \le 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calcula

\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx

Integral definidaFunción a trozosTrigonometría

Cálculo de la integral definida de una función a trozos

Para calcular la integral de la función $f(x)$ en el intervalo $[-\pi, \pi]$ , debemos descomponer la integral en dos sumandos, ya que la definición de la función cambia en el punto $x = 0$ :

\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx + \int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx

Resolvemos la primera integral, correspondiente al tramo $x \le 0$ , hallando su primitiva de forma directa:

\int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx = [x - e^x]_{-\pi}^{0} = (0 - e^0) - (-\pi - e^{-\pi}) = -1 + \pi + e^{-\pi} = \pi - 1 + e^{-\pi}

Para la segunda integral, correspondiente al tramo $x > 0$ , aplicamos el método de integración por partes. Definimos $u = x$ y $dv = \cos(x) dx$ , de donde obtenemos $du = dx$ y $v = \sin(x)$ . La fórmula de integración por partes $\int u dv = uv - \int v du$ nos da:

\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x)

Evaluamos ahora la integral definida en los límites $0$ y $\pi$ :

\int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi} = (\pi \sin(\pi) + \cos(\pi)) - (0 \sin(0) + \cos(0))

(\pi \cdot 0 - 1) - (0 + 1) = -1 - 1 = -2

Finalmente, sumamos los resultados obtenidos en ambos intervalos para obtener el valor total de la integral definida:

\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = (\pi - 1 + e^{-\pi}) + (-2) = \pi - 3 + e^{-\pi}