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T5: Integrales
Integral definida
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
3
Examen

Considera la función

f(x)={1−exsi x≤0xcos⁡(x)si x>0f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \le 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calcula

∫−ππf(x)dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx
Integral definidaFunción a trozosTrigonometría
Cálculo de la integral definida de una función a trozos

Para calcular la integral de la función f(x)f(x) en el intervalo [−π,π][-\pi, \pi], debemos descomponer la integral en dos sumandos, ya que la definición de la función cambia en el punto x=0x = 0:

∫−ππf(x)dx=∫−π0(1−ex)dx+∫0πxcos⁡(x)dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx + \int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx

Resolvemos la primera integral, correspondiente al tramo x≤0x \le 0, hallando su primitiva de forma directa:

∫−π0(1−ex)dx=[x−ex]−π0=(0−e0)−(−π−e−π)=−1+π+e−π=π−1+e−π\int_{-\pi}^{0} (1 - e^x) dx = [x - e^x]_{-\pi}^{0} = (0 - e^0) - (-\pi - e^{-\pi}) = -1 + \pi + e^{-\pi} = \pi - 1 + e^{-\pi}

Para la segunda integral, correspondiente al tramo x>0x > 0, aplicamos el método de integración por partes. Definimos u=xu = x y dv=cos⁡(x)dxdv = \cos(x) dx, de donde obtenemos du=dxdu = dx y v=sin⁡(x)v = \sin(x). La fórmula de integración por partes ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du nos da:

∫xcos⁡(x)dx=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x)dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x)

Evaluamos ahora la integral definida en los límites 00 y π\pi:

∫0πxcos⁡(x)dx=[xsin⁡(x)+cos⁡(x)]0π=(πsin⁡(π)+cos⁡(π))−(0sin⁡(0)+cos⁡(0))\int_{0}^{\pi} x \cos(x) dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi} = (\pi \sin(\pi) + \cos(\pi)) - (0 \sin(0) + \cos(0))
(π⋅0−1)−(0+1)=−1−1=−2(\pi \cdot 0 - 1) - (0 + 1) = -1 - 1 = -2

Finalmente, sumamos los resultados obtenidos en ambos intervalos para obtener el valor total de la integral definida:

∫−ππf(x)dx=(π−1+e−π)+(−2)=π−3+e−π\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = (\pi - 1 + e^{-\pi}) + (-2) = \pi - 3 + e^{-\pi}