T5: Integrales · Integrales definidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Integrales definidas

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Considera la función

f(x) = \begin{cases} x \text{ sen}(2x) & \text{si } x \leq 0 \\ \cos(\pi x) - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}

Calcula

\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx

Función a trozosIntegral definida

Resolución de la integral definida

Para calcular la integral de la función definida a trozos en el intervalo $[-\frac{\pi}{4}, 1]$ , debemos dividirla en dos partes coincidiendo con el valor en el que cambia la definición de la función, que es $x = 0$ :

\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^0 x \text{ sen}(2x) dx + \int_0^1 (\cos(\pi x) - 1) dx

En primer lugar, resolvemos la integral indefinida $\int x \text{ sen}(2x) dx$ utilizando el método de integración por partes. Tomamos $u = x$ y $dv = \text{ sen}(2x) dx$ , de donde se sigue que $du = dx$ y $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$ :

\int x \text{ sen}(2x) dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) - \int -\frac{1}{2} \cos(2x) dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \text{ sen}(2x) + C

Aplicamos la regla de Barrow para la primera parte de la integral definida entre $-\frac{\pi}{4}$ y $0$ :

I_1 = \left[ -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \text{ sen}(2x) \right]_{-\frac{\pi}{4}}^0 = (0 + 0) - \left( -\frac{-\pi/4}{2} \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4} \text{ sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)

I_1 = 0 - \left( 0 + \frac{1}{4}(-1) \right) = \frac{1}{4}

Resolvemos ahora la segunda parte de la integral, correspondiente al intervalo $(0, 1]$ :

I_2 = \int_0^1 (\cos(\pi x) - 1) dx = \left[ \frac{1}{\pi} \text{ sen}(\pi x) - x \right]_0^1

I_2 = \left( \frac{1}{\pi} \text{ sen}(\pi) - 1 \right) - \left( \frac{1}{\pi} \text{ sen}(0) - 0 \right) = (0 - 1) - (0 - 0) = -1

Sumamos los resultados de ambas partes para obtener el valor final de la integral solicitada:

\int_{-\frac{\pi}{4}}^1 f(x) dx = I_1 + I_2 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}