T5: Integrales · Métodos de integración — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Métodos de integración

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Calcula

\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x^2 - 3$ ).

Integral definidaCambio de variable

Resolución de la integral definida por cambio de variable

Para resolver la integral $\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx$ , utilizaremos el cambio de variable propuesto $t = x^2 - 3$ .Primero, calculamos el diferencial de la nueva variable derivando respecto a $x$ :

dt = 2x \, dx \implies 4x \, dx = 2 \, dt

A continuación, determinamos los nuevos límites de integración para la variable $t$ :Si el límite inferior es $x = \sqrt{3}$ , entonces $t = (\sqrt{3})^2 - 3 = 3 - 3 = 0$ .Si el límite superior es $x = 2$ , entonces $t = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ .Expresamos el denominador de la función en términos de la variable $t$ completando el cuadrado o mediante sustitución directa:

x^4 - 6x^2 + 10 = (x^2 - 3)^2 + 1 = t^2 + 1

Sustituimos todos los elementos transformados en la integral original:

\int_{\sqrt{3}}^{2} \frac{4x}{x^4 - 6x^2 + 10} dx = \int_{0}^{1} \frac{2}{t^2 + 1} dt

Resolvemos la integral, que resulta en una función arcotangente, y aplicamos la regla de Barrow:

2 \int_{0}^{1} \frac{1}{t^2 + 1} dt = 2 [\arctan(t)]_{0}^{1}

Finalmente, evaluamos en los límites de integración y simplificamos el resultado:

2 (\arctan(1) - \arctan(0)) = 2 \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{2}