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T5: Integrales
Cálculo de integrales
Problema
2024 · Extraordinaria · Suplente
4
Examen

Calcula

∫dx4+4ex\int \frac{dx}{\sqrt{4 + 4e^x}}

(Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=1+ext = \sqrt{1 + e^x}).

Integrales indefinidasCambio de variable
Resolución de la integral indefinida

En primer lugar, simplificamos la expresión de la integral extrayendo factor común en el denominador:

I=∫dx4(1+ex)=∫dx21+ex=12∫dx1+exI = \int \frac{dx}{\sqrt{4(1 + e^x)}} = \int \frac{dx}{2\sqrt{1 + e^x}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}}

Siguiendo la sugerencia, aplicamos el cambio de variable t=1+ext = \sqrt{1 + e^x}. Para hallar el diferencial dxdx, elevamos al cuadrado y derivamos:

t2=1+ex  ⟹  ex=t2−1t^2 = 1 + e^x \implies e^x = t^2 - 1
2t dt=ex dx  ⟹  dx=2tex dt=2tt2−1 dt2t \, dt = e^x \, dx \implies dx = \frac{2t}{e^x} \, dt = \frac{2t}{t^2 - 1} \, dt

Sustituimos en la integral original:

I=12∫1t⋅2tt2−1 dt=∫1t2−1 dtI = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2 - 1} \, dt = \int \frac{1}{t^2 - 1} \, dt

Para resolver esta integral, descomponemos la fracción en fracciones simples:

1t2−1=1(t−1)(t+1)=At−1+Bt+1\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}

Utilizamos el método de coeficientes indeterminados: 1=A(t+1)+B(t−1)1 = A(t+1) + B(t-1). Si evaluamos en t=1t=1 obtenemos A=1/2A=1/2, y en t=−1t=-1 obtenemos B=−1/2B=-1/2. Integramos:

I=∫(1/2t−1−1/2t+1)dt=12ln⁡∣t−1∣−12ln⁡∣t+1∣+CI = \int \left( \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} \right) dt = \frac{1}{2} \ln|t-1| - \frac{1}{2} \ln|t+1| + C

Aplicamos las propiedades de los logaritmos y deshacemos el cambio de variable inicial (t=1+ext = \sqrt{1 + e^x}):

I=12ln⁡∣t−1t+1∣+C=12ln⁡(1+ex−11+ex+1)+CI = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{\sqrt{1 + e^x} - 1}{\sqrt{1 + e^x} + 1} \right) + C