T5: Integrales · Integración por partes — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Integración por partes

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x$ . Halla una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$ .

PrimitivaIntegración por partes

Cálculo de la primitiva de la función $f(x)$

Para hallar una primitiva de la función $f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x$ , debemos calcular la integral indefinida:

F(x) = \int (x^2 - 3x + 5)e^x dx

Utilizaremos el método de integración por partes, seleccionando $u$ como el polinomio para reducir su grado y $dv$ como la función exponencial:

u = x^2 - 3x + 5 \implies du = (2x - 3) dx

dv = e^x dx \implies v = e^x

Aplicando la fórmula de integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ :

F(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x - \int (2x - 3)e^x dx

Para resolver la nueva integral $\int (2x - 3)e^x dx$ , aplicamos de nuevo la integración por partes:

u_1 = 2x - 3 \implies du_1 = 2 dx

dv_1 = e^x dx \implies v_1 = e^x

\int (2x - 3)e^x dx = (2x - 3)e^x - \int 2e^x dx = (2x - 3)e^x - 2e^x = (2x - 5)e^x

Sustituyendo este resultado en la expresión original para obtener la primitiva general:

F(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x - (2x - 5)e^x + C

F(x) = (x^2 - 3x + 5 - 2x + 5)e^x + C = (x^2 - 5x + 10)e^x + C

Para hallar la constante $C$ , imponemos que la gráfica de $F(x)$ pase por el punto $(0, 5)$ , es decir, $F(0) = 5$ :

F(0) = (0^2 - 5 \cdot 0 + 10)e^0 + C = 5

10 \cdot 1 + C = 5 \implies C = -5

La primitiva buscada es:

F(x) = (x^2 - 5x + 10)e^x - 5