T5: Integrales · Cálculo de primitivas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Cálculo de primitivas

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por:

f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}

Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 5)$ .

PrimitivaPunto de paso

Cálculo de la primitiva de una función racional

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1}$ , observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador. Procedemos a realizar la división de polinomios para simplificar la expresión:

\frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} = x + \frac{-x + 1}{x^2 + 1}

De este modo, podemos expresar la integral indefinida $F(x) = \int f(x) dx$ como una suma de integrales más sencillas:

F(x) = \int x \, dx - \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx

Resolvemos cada término de la integral. El segundo término se ajusta multiplicando y dividiendo por $2$ para obtener la derivada del denominador en el numerador, resultando en un logaritmo neperiano:

F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + C

Para encontrar la primitiva específica que pasa por el punto $(0, 5)$ , imponemos la condición $F(0) = 5$ :

5 = \frac{0^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) + \arctan(0) + C

Sabiendo que $\ln(1) = 0$ y que $\arctan(0) = 0$ :

5 = 0 - 0 + 0 + C \implies C = 5

La función primitiva buscada es:

F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + 5