T5: Integrales · Integrales indefinidas — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Integrales indefinidas

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

Halla la función $f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3, -4 \ln 5)$ y verifica:

f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}

donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

PrimitivaLogaritmo neperianoFracciones parciales

Cálculo de la función $f(x)$

Para hallar la función $f(x)$ dada su derivada $f'(x)$ , debemos calcular su integral indefinida:

f(x) = \int \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} dx

Puesto que el grado del numerador es igual al grado del denominador, realizamos primero la división polinómica:

\frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} = 3 + \frac{4x + 24}{x^2 - 4}

A continuación, descomponemos el resto de la división en fracciones simples:

\frac{4x + 24}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}

Igualando los numeradores, obtenemos la identidad $4x + 24 = A(x + 2) + B(x - 2)$ . Para encontrar los valores de $A$ y $B$ , evaluamos en las raíces del denominador:Si $x = 2$ , tenemos $32 = 4A \implies A = 8$ .Si $x = -2$ , tenemos $16 = -4B \implies B = -4$ .Sustituimos estos coeficientes en la integral y resolvemos. Dado que el dominio es $x \in (2, +\infty)$ , los argumentos de los logaritmos son positivos:

f(x) = \int \left( 3 + \frac{8}{x - 2} - \frac{4}{x + 2} \right) dx = 3x + 8 \ln(x - 2) - 4 \ln(x + 2) + C

Para hallar el valor de la constante $C$ , utilizamos el hecho de que la función pasa por el punto $(3, -4 \ln 5)$ :

f(3) = 3(3) + 8 \ln(3 - 2) - 4 \ln(3 + 2) + C = -4 \ln 5

Como $\ln 1 = 0$ , la ecuación queda como $9 - 4 \ln 5 + C = -4 \ln 5$ . Simplificando los términos con logaritmos, obtenemos $9 + C = 0$ , de donde $C = -9$ .Por lo tanto, la función buscada es:

f(x) = 3x + 8 \ln(x - 2) - 4 \ln(x + 2) - 9