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T5: Integrales
Cálculo de áreas
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
3
Examen
EJERCICIO 3

Sean f,g:R→Rf, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=−x2+7f(x) = -x^2 + 7 y g(x)=∣x2−1∣g(x) = |x^2 - 1|.

a) Halla los puntos de intersección de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.b) Calcula el área de dicho recinto.
IntegralesÁreasIntersección de funciones
a) Halla los puntos de intersección de las gráficas de ff y gg. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.

Para hallar los puntos de intersección, igualamos ambas funciones f(x)=g(x)f(x) = g(x), es decir, −x2+7=∣x2−1∣-x^2 + 7 = |x^2 - 1|. Debido a la definición de valor absoluto, estudiamos dos casos:Caso 1: x2−1≥0x^2 - 1 \geq 0, es decir, x∈(−∞,−1]∪[1,+∞)x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty).

−x2+7=x2−1⇒2x2=8⇒x2=4⇒x=±2-x^2 + 7 = x^2 - 1 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Ambos valores pertenecen al dominio considerado, por lo que los puntos de corte son (−2,3)(-2, 3) y (2,3)(2, 3).Caso 2: x2−1<0x^2 - 1 < 0, es decir, x∈(−1,1)x \in (-1, 1).

−x2+7=−(x2−1)⇒−x2+7=−x2+1⇒7=1-x^2 + 7 = -(x^2 - 1) \Rightarrow -x^2 + 7 = -x^2 + 1 \Rightarrow 7 = 1

Esta ecuación no tiene solución, por lo que no hay puntos de intersección en el intervalo (−1,1)(-1, 1).En resumen, los puntos de intersección son (−2,3)(-2, 3) y (2,3)(2, 3). Para el esbozo, observamos que f(x)f(x) es una parábola cóncava con vértice en (0,7)(0, 7) y g(x)g(x) es el valor absoluto de una parábola convexa, lo que la hace siempre no negativa con picos en x=±1x = \pm 1.

b) Calcula el área de dicho recinto.

Dado que ambas funciones son pares (f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) y g(x)=g(−x)g(x) = g(-x)), el recinto es simétrico respecto al eje YY. Podemos calcular el área en el intervalo [0,2][0, 2] y multiplicar por 22.

A=2∫02(f(x)−g(x))dxA = 2 \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) dx

Debemos dividir la integral en dos partes debido a la definición de g(x)=∣x2−1∣g(x) = |x^2 - 1|:

A=2(∫01((−x2+7)−(1−x2))dx+∫12((−x2+7)−(x2−1))dx)A = 2 \left( \int_{0}^{1} ((-x^2 + 7) - (1 - x^2)) dx + \int_{1}^{2} ((-x^2 + 7) - (x^2 - 1)) dx \right)

Simplificamos los integrandos:

A=2(∫016dx+∫12(−2x2+8)dx)A = 2 \left( \int_{0}^{1} 6 dx + \int_{1}^{2} (-2x^2 + 8) dx \right)

Calculamos las primitivas:

A=2([6x]01+[−2x33+8x]12)A = 2 \left( [6x]_0^1 + \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_1^2 \right)

Evaluamos aplicando la regla de Barrow:

A=2((6−0)+((−163+16)−(−23+8)))A = 2 \left( (6 - 0) + \left( (-\frac{16}{3} + 16) - (-\frac{2}{3} + 8) \right) \right)
A=2(6+323−223)=2(6+103)=2(283)=563 unidades2A = 2 \left( 6 + \frac{32}{3} - \frac{22}{3} \right) = 2 \left( 6 + \frac{10}{3} \right) = 2 \left( \frac{28}{3} \right) = \frac{56}{3} \text{ unidades}^2