T5: Integrales · Integración de funciones racionales — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Integración de funciones racionales

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$ , para $x \neq -1, x \neq 1$ . Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1)$ .

PrimitivaIntegrales racionalesCondición inicial

Cálculo de la primitiva de una función racional

Para hallar la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$ , primero observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador, por lo que realizamos la división polinómica:

x^3 + 2 = x(x^2 - 1) + (x + 2)

De este modo, podemos expresar la función como la suma de un polinomio y una fracción propia:

f(x) = x + \frac{x + 2}{x^2 - 1}

A continuación, descomponemos la fracción racional en fracciones simples, factorizando el denominador $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ :

\frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}

Igualando los numeradores, obtenemos la identidad $x + 2 = A(x + 1) + B(x - 1)$ . Calculamos los valores de $A$ y $B$ sustituyendo por las raíces del denominador:Si $x = 1 \Rightarrow 3 = 2A \Rightarrow A = \frac{3}{2}$ .Si $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$ .La integral general de la función es:

F(x) = \int \left( x + \frac{3/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1} \right) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + C

Para encontrar la primitiva específica que pasa por el punto $(0, 1)$ , imponemos la condición $F(0) = 1$ :

F(0) = \frac{0^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|0 - 1| - \frac{1}{2} \ln|0 + 1| + C = 1

Dado que $\ln(1) = 0$ , la ecuación se simplifica a $0 + 0 - 0 + C = 1$ , por lo que $C = 1$ .Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión general, obtenemos la primitiva buscada:

F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \ln|x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 1| + 1