T5: Integrales · Métodos de integración — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2024

Métodos de integración

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

Calcula $\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx$ . (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = e^x$ ).

Integral indefinidaCambio de variable

Resolución de la integral por cambio de variable

Para resolver la integral $\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx$ , seguimos la sugerencia y aplicamos el cambio de variable $t = e^x$ .Derivando la expresión del cambio, tenemos:

dt = e^x dx \implies dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}

Sustituyendo en la integral original, obtenemos una función racional en $t$ :

\int \frac{t^3 - 1}{t - 3} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{t^3 - 1}{t^2 - 3t} dt

Puesto que el grado del numerador es mayor que el del denominador, realizamos la división polinómica de $t^3 - 1$ entre $t^2 - 3t$ :

\frac{t^3 - 1}{t^2 - 3t} = t + 3 + \frac{9t - 1}{t^2 - 3t}

Ahora descomponemos la fracción restante en fracciones simples:

\frac{9t - 1}{t(t - 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 3}

Multiplicando por el denominador común, tenemos $9t - 1 = A(t - 3) + Bt$ . Calculamos los coeficientes:Si $t = 0 \implies -1 = -3A \implies A = \frac{1}{3}$ Si $t = 3 \implies 26 = 3B \implies B = \frac{26}{3}$ La integral se convierte en:

\int \left( t + 3 + \frac{1/3}{t} + \frac{26/3}{t - 3} \right) dt

Integrando término a término respecto a $t$ :

\frac{t^2}{2} + 3t + \frac{1}{3}\ln|t| + \frac{26}{3}\ln|t - 3| + C

Finalmente, deshacemos el cambio de variable $t = e^x$ . Teniendo en cuenta que $\ln|e^x| = x$ , el resultado es:

\int \frac{e^{3x} - 1}{e^x - 3} dx = \frac{e^{2x}}{2} + 3e^x + \frac{x}{3} + \frac{26}{3}\ln|e^x - 3| + C