Funciones

Sea $N$ el punto donde se encuentra el náufrago, $N=(2,0)$. Sea $P$ un punto cualquiera de la trayectoria del ferry. La trayectoria viene dada por la función $f(x) = \sqrt{x+1}$. Por lo tanto, un punto $P$ de la trayectoria tendrá coordenadas $(x, \sqrt{x+1})$. La distancia $d$ entre el náufrago y el ferry en un punto $P$ viene dada por la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Sustituyendo las coordenadas de $N=(2,0)$ y $P=(x, \sqrt{x+1})$:

Para minimizar la distancia, es equivalente minimizar el cuadrado de la distancia, $d^2(x)$, lo que simplifica los cálculos al eliminar la raíz cuadrada:

Desarrollamos la expresión:

Para encontrar el mínimo de esta función, calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

Para comprobar que se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada:

Dado que $D''(x) = 2 > 0$, el punto $x = 3/2$ corresponde a un mínimo.

Ahora, sustituimos $x = 3/2$ en la ecuación de la trayectoria $f(x) = \sqrt{x+1}$ para encontrar la coordenada $y$ correspondiente:

El punto de la trayectoria más cercano al náufrago es $P\left(\frac{3}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$.

Para calcular la distancia mínima, sustituimos $x = 3/2$ en la función de distancia al cuadrado $D(x)$ y luego calculamos la raíz cuadrada:

La distancia mínima es la raíz cuadrada de $D(3/2)$:

Dada la función $f(x) = \frac{1 + |x|}{1 - |x|}$ definida en el intervalo $(-1, 1)$, comenzamos expresando la función de forma desglosada eliminando el valor absoluto según la definición de $|x|$:

Primero comprobamos la continuidad en $x = 0$, que es el único punto donde la expresión de la función cambia. Los denominadores no se anulan dentro del dominio $(-1, 1)$.

Al ser continua en $x=0$, estudiamos la derivabilidad calculando la derivada en los intervalos abiertos $(-1, 0)$ y $(0, 1)$:

Calculamos las derivadas laterales en $x = 0$ para comprobar si es derivable en dicho punto:

Como $f'_-(0) \neq f'_+(0)$, la función no es derivable en $x = 0$. Por tanto, el dominio de derivabilidad de $f$ es $(-1, 0) \cup (0, 1)$.

Analizamos el signo de la primera derivada en cada uno de los intervalos de definición:1. En el intervalo $(-1, 0)$, la derivada es $f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2}$. Dado que el denominador $(1+x)^2$ es siempre positivo en su dominio y el numerador es $-2$, entonces $f'(x) < 0$. La función es estrictamente decreciente en $(-1, 0)$.2. En el intervalo $(0, 1)$, la derivada es $f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2}$. Dado que el denominador $(1-x)^2$ es siempre positivo y el numerador es $2$, entonces $f'(x) > 0$. La función es estrictamente creciente en $(0, 1)$.

Dada la definición del valor absoluto, reescribimos la función $f: (-1, 1) \to \mathbb{R}$ por intervalos:

Para la continuidad, analizamos los intervalos abiertos y el punto de unión $x = 0$:En $(-1, 0)$ y $(0, 1)$, la función es continua por ser el cociente de funciones continuas (polinomios) donde el denominador no se anula. En $x = 0$, calculamos los límites laterales:

Como $f(0) = 1$, los límites laterales coinciden con el valor de la función, por lo que $f(x)$ es continua en $(-1, 1)$.Para la derivabilidad, calculamos la derivada en los intervalos abiertos:

Estudiamos la derivabilidad en $x = 0$ comparando las derivadas laterales:

Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función no es derivable en $x = 0$. Por lo tanto, $f$ es derivable en $(-1, 0) \cup (0, 1)$.

Analizamos el crecimiento de la función a partir del signo de su derivada:En $(-1, 0)$, $f'(x) = \frac{-2}{(1 + x)^3}$. Como $1+x$ es siempre positivo en este intervalo, $f'(x) < 0$, luego $f$ es estrictamente decreciente.En $(0, 1)$, $f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^3}$. Como $1-x$ es siempre positivo en este intervalo, $f'(x) > 0$, luego $f$ es estrictamente creciente.Dado que la función decrece hasta $x = 0$ y crece a partir de ahí, y siendo $f$ continua en dicho punto, existe un mínimo absoluto en $x = 0$.El valor del mínimo absoluto es $f(0) = 1$.Para los máximos absolutos, estudiamos el comportamiento en los extremos del dominio:

Puesto que la función tiende a $+\infty$ en los bordes de su dominio, no existen máximos absolutos.

Primero, simplificamos la expresión de la función $f(x)$ utilizando las propiedades de los logaritmos para facilitar el cálculo de su derivada:

Calculamos la derivada de $f(x)$ para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto genérico $a$:

La pendiente de la recta normal a $f$ en $x = a$, denominada $m_n$, es la opuesta de la inversa de la derivada:

Por otro lado, calculamos la derivada de $g(x) = x^3 + 2$ para obtener la pendiente de su recta tangente en $x = a$, denominada $m_t$:

Para que la recta normal a $f$ sea paralela a la recta tangente a $g$, sus pendientes deben ser iguales ($m_n = m_t$):

Resolvemos la ecuación para $a$, teniendo en cuenta que el enunciado indica $a \neq 0$:

Como $a \neq 0$, la única solución válida es:

Este valor $a = -1/6$ pertenece al dominio de la función $f$, ya que $-1 < -1/6 < 0$.

El crecimiento y decrecimiento de $f$ vienen determinados por el signo de su primera derivada en su dominio $D_f = (-1, 0) \cup (0, 1)$:

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los dos intervalos que componen el dominio:En el intervalo $(-1, 0)$: el valor de $x$ es negativo, por lo tanto $f'(x) = 2/x < 0$. La función es estrictamente decreciente.En el intervalo $(0, 1)$: el valor de $x$ es positivo, por lo tanto $f'(x) = 2/x > 0$. La función es estrictamente creciente.En conclusión:Intervalo de decrecimiento: $(-1, 0)$ Intervalo de crecimiento: $(0, 1)$

Para resolver el límite propuesto, primero evaluamos la expresión cuando $x \to 0$:

Al sustituir $x = 0$, obtenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$:Numerador: $0 \cdot \text{sen}(0) + a(e^0 - 1) + \text{sen}(0) = 0 + a(1 - 1) + 0 = 0$ Denominador: $b(0)^2 + 0 - \text{sen}(0) = 0$ Aplicamos la Regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador de forma independiente:

Evaluamos nuevamente el límite cuando $x \to 0$:Denominador: $2b(0) + 1 - \cos(0) = 0 + 1 - 1 = 0$ Numerador: $\text{sen}(0) + 0 \cdot \cos(0) + ae^0 + \cos(0) = a + 1$ Para que el límite pueda ser igual a 1 (un valor finito), y dado que el denominador tiende a 0, el numerador debe ser necesariamente 0 para poder aplicar de nuevo la Regla de L'Hôpital:

Sustituimos $a = -1$ y aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez sobre la expresión derivada:

Simplificamos la expresión del numerador antes de evaluar:

Evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$:

Según el enunciado, el valor de este límite debe ser 1. Por lo tanto, igualamos y despejamos $b$:

Los valores buscados son $a = -1$ y $b = \frac{1}{2}$.

Para hallar el punto de inflexión, primero calculamos las derivadas sucesivas de la función $f(x) = (x - 1)e^x$.

El punto de inflexión ocurre cuando la segunda derivada es cero y la tercera es distinta de cero en ese punto. Resolvemos $f''(x) = 0$:

Calculamos el valor de la función y de la primera derivada en $x = -1$:

El punto de inflexión es $P(-1, -2/e)$. La pendiente de la recta tangente es $m_t = f'(-1) = -1/e$. Aplicamos la fórmula punto-pendiente:

La pendiente de la recta normal es la inversa y opuesta de la tangente, $m_n = -1 / f'(-1) = e$. Su ecuación es:

1. Asíntotas verticales: Como $f(x) = (x - 1)e^x$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ (producto de un polinomio y una exponencial), no tiene asíntotas verticales.2. Asíntotas horizontales: Calculamos los límites en el infinito.En $+\infty$:

No hay asíntota horizontal en $+\infty$.En $-\infty$:

Reescribimos y aplicamos la regla de L'Hôpital:

Por tanto, hay una asíntota horizontal en $y = 0$ cuando $x \to -\infty$.3. Asíntotas oblicuas ($y = mx + n$): Al existir asíntota horizontal en $-\infty$, no hay oblicua en esa dirección. Comprobamos en $+\infty$:

Al ser el límite infinito, no existe asíntota oblicua en $+\infty$.

Para estudiar la derivabilidad en el intervalo $[0, 2]$, primero analizamos la continuidad en el punto de unión $x = 1$. En los intervalos $(0, 1)$ y $(1, 2)$, la función es continua por estar definida mediante funciones elementales (exponencial y polinómica).

Puesto que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$, la función es continua en $x = 1$. Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad calculando la función derivada en los puntos genéricos del intervalo:

Para determinar si es derivable en $x = 1$, calculamos las derivadas laterales mediante los límites de la función derivada:

Dado que las derivadas laterales existen pero son distintas ($f'(1^-) \neq f'(1^+)$), la función no es derivable en $x = 1$. Por lo tanto, $f$ es derivable en el conjunto $(0, 1) \cup (1, 2)$.

Como la función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$, el teorema de Weierstrass asegura que alcanza un máximo y un mínimo absoluto. Los puntos candidatos a ser extremos absolutos son:

Evaluamos la función en estos tres puntos candidatos:

Comparando los valores obtenidos, determinamos los extremos absolutos:El mínimo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 1$ con un valor de $f(1) = 1 - e$.El máximo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 2$ con un valor de $f(2) = 3 - e$.

Para que el límite sea finito, primero analizamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a 0. Evaluamos el numerador y el denominador por separado:

Sustituyendo $x = 0$ en el denominador:

Sustituyendo $x = 0$ en el numerador:

Obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$. Aplicamos la Regla de L'Hôpital, derivando numerador y denominador por separado:

Simplificamos la expresión obtenida:

Volvemos a evaluar el límite en $x = 0$. El denominador resulta en:

Para que el límite sea finito, el numerador también debe anularse en $x = 0$ (condición necesaria para evitar que el límite sea infinito):

Una vez hallado el valor de $a = 1$, la expresión presenta nuevamente una indeterminación $0/0$. Aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez:

Simplificamos el denominador y evaluamos el límite final sustituyendo $x = 0$:

Por lo tanto, los valores solicitados son $a = 1$ y el valor del límite es $2$.

Para que la recta $y = 1$ sea una asíntota horizontal de la función cuando $x$ tiende a infinito, se debe cumplir la siguiente condición:

Sustituimos la expresión de la función y evaluamos el límite:

El segundo término presenta una indeterminación de tipo $\infty / \infty$. Dado que el crecimiento de una potencia de $x$ es superior al de un logaritmo, el límite es cero. Aplicando la regla de L'Hôpital para verificarlo:

Igualamos el resultado al valor de la asíntota horizontal para despejar el parámetro:

Para el segundo apartado, con $a = 0$, la función es $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$. Calculamos su primera derivada mediante la regla del cociente para determinar la monotonía:

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero. Como el dominio es $(0, +\infty)$, el denominador siempre es positivo:

Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el punto crítico:

Como la función cambia de creciente a decreciente en el punto crítico, existe un máximo relativo. Calculamos la imagen de dicho valor:

Los resultados finales para la función con $a = 0$ son:

Sean $x$ e $y$ las longitudes de los lados del rectángulo expresadas en cm. El enunciado establece que el área es constante e igual a $25 \text{ cm}^2$:

Queremos minimizar el producto de las longitudes de sus dos diagonales. En un rectángulo, ambas diagonales son iguales ($d_1 = d_2 = d$). Por el teorema de Pitágoras, sabemos que $d^2 = x^2 + y^2$. Por tanto, el producto de las diagonales es:

Sustituimos la variable $y$ para obtener la función a minimizar dependiente de una sola variable, $f(x)$:

Para hallar los puntos críticos, calculamos la derivada de la función e igualamos a cero:

Como el lado de un rectángulo debe ser positivo, tomamos $x = 5 \text{ cm}$. Para comprobar que se trata de un mínimo, utilizamos la segunda derivada:

Evaluamos en $x = 5$:

Dado que $f''(5) > 0$, existe un mínimo relativo en $x = 5$. Calculamos la longitud del otro lado:

Por tanto, las dimensiones del rectángulo que minimizan el producto de sus diagonales corresponden a las de un cuadrado de lado $5 \text{ cm}$.

Una función $f(x)$ tiene una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$ si los límites de $m$ y $n$ existen y son finitos. En este caso, nos dan la recta $y = x - 2$, por lo que $m = 1$ y $n = -2$.Calculamos $m$ mediante el límite: