a) Calcula aeq0 de forma que en el punto (a,f(a)) la recta normal a la gráfica de la función f sea paralela a la recta tangente a la gráfica de g en el punto (a,g(a)).Primero, simplificamos la expresión de la función f(x) utilizando las propiedades de los logaritmos para facilitar el cálculo de su derivada:
f(x)=ln(ex2)=ln(x2)−ln(e)=2ln∣x∣−1 Calculamos la derivada de f(x) para hallar la pendiente de la recta tangente en un punto genérico a:
f′(x)=x2/e1⋅e2x=x22x=x2 La pendiente de la recta normal a f en x=a, denominada mn, es la opuesta de la inversa de la derivada:
m_n = -\frac{1}{f'(a)} = -\frac{1}{2/a} = -\frac{a}{2}
Por otro lado, calculamos la derivada de g(x)=x3+2 para obtener la pendiente de su recta tangente en x=a, denominada mt:
g'(x) = 3x^2 \implies m_t = g'(a) = 3a^2
Para que la recta normal a f sea paralela a la recta tangente a g, sus pendientes deben ser iguales (mn=mt):
−2a=3a2 Resolvemos la ecuación para a, teniendo en cuenta que el enunciado indica a=0:
3a2+2a=0⟹a(3a+21)=0 Como a=0, la única solución válida es:
3a+21=0⟹3a=−21⟹a=−61 Este valor a=−1/6 pertenece al dominio de la función f, ya que −1<−1/6<0.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f.El crecimiento y decrecimiento de f vienen determinados por el signo de su primera derivada en su dominio Df=(−1,0)∪(0,1):
f′(x)=x2 Analizamos el signo de f′(x) en los dos intervalos que componen el dominio:En el intervalo (−1,0): el valor de x es negativo, por lo tanto f′(x)=2/x<0. La función es estrictamente decreciente.En el intervalo (0,1): el valor de x es positivo, por lo tanto f′(x)=2/x>0. La función es estrictamente creciente.En conclusión:Intervalo de decrecimiento: (−1,0) Intervalo de crecimiento: (0,1)
