T4: Funciones · Derivabilidad y extremos — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2025

Derivabilidad y extremos

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Sea $f : [0, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por

f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 2x - 1 - e & \text{si } 1 \le x \le 2 \end{cases}

a) Estudia la derivabilidad de

f

.b) Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Función a trozosDerivabilidadExtremos absolutos

a) Estudia la derivabilidad de

f

Para estudiar la derivabilidad en el intervalo $[0, 2]$ , primero analizamos la continuidad en el punto de unión $x = 1$ . En los intervalos $(0, 1)$ y $(1, 2)$ , la función es continua por estar definida mediante funciones elementales (exponencial y polinómica).

\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} f(x) &= \lim_{x \to 1^-} (1 - e^x) = 1 - e \\ \lim_{x \to 1^+} f(x) &= \lim_{x \to 1^+} (2x - 1 - e) = 2(1) - 1 - e = 1 - e \\ f(1) &= 1 - e \end{aligned}

Puesto que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$ , la función es continua en $x = 1$ . Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad calculando la función derivada en los puntos genéricos del intervalo:

f'(x) = \begin{cases} -e^x & \text{si } 0 < x < 1 \\ 2 & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}

Para determinar si es derivable en $x = 1$ , calculamos las derivadas laterales mediante los límites de la función derivada:

\begin{aligned} f'(1^-) &= \lim_{x \to 1^-} (-e^x) = -e \\ f'(1^+) &= \lim_{x \to 1^+} (2) = 2 \end{aligned}

Dado que las derivadas laterales existen pero son distintas ( $f'(1^-) \neq f'(1^+)$ ), la función no es derivable en $x = 1$ . Por lo tanto, $f$ es derivable en el conjunto $(0, 1) \cup (1, 2)$ .

b) Halla los extremos absolutos de

f

(abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Como la función $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$ , el teorema de Weierstrass asegura que alcanza un máximo y un mínimo absoluto. Los puntos candidatos a ser extremos absolutos son:

1) Puntos donde la derivada es cero: En el intervalo

(0, 1)

-e^x

nunca es nulo. En

(1, 2)

, la derivada es

2

, que tampoco se anula. No existen puntos críticos.2) Puntos donde la función no es derivable:

x = 1

.3) Extremos del dominio:

x = 0

x = 2

Evaluamos la función en estos tres puntos candidatos:

\begin{aligned} f(0) &= 1 - e^0 = 1 - 1 = 0 \\ f(1) &= 1 - e \approx -1,718 \\ f(2) &= 2(2) - 1 - e = 3 - e \approx 0,282 \end{aligned}

Comparando los valores obtenidos, determinamos los extremos absolutos:El mínimo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 1$ con un valor de $f(1) = 1 - e$ .El máximo absoluto se obtiene en la abscisa $x = 2$ con un valor de $f(2) = 3 - e$ .